Demostrar una desigualdad $\prod_{j=1}^q (x_j + 1) \leq 2^p$ para $\sum_{j=1}^qx_j = p$

Question

Sea $x_j$ , $1 \leq j \leq q \leq p$ sean algunos enteros no negativos tales que $\sum_{j=1}^q x_j = p$ . Cómo determinar si la siguiente desigualdad es cierta $$\begin{align*} (x_1 + 1) (x_2 + 1) \cdots (x_q + 1) \leq 2^p. \end{align*}$$ Si es cierto, ¿cómo demostrar la desigualdad?

Answer 1

Recordemos la desigualdad de Bernoulli $$(1+x)^\alpha\ge1+\alpha x,~\text{ for $ \alpha\ge 1 $ and $ x>0 $}$$ Como corolario(tomando $x=1$ ), $$(1+\alpha)^{1/\alpha}\le2,~\text{ for $ \alpha\ge 1 $}$$ Ahora AM-GM implica $$\begin{align}\prod_{j=1}^q(x_j+1)&\le\left(1+\frac p q\right)^q\\ &=\left(\left(1+\frac p q\right)^{q/p}\right)^p\\ &\le 2^p\quad(\text{here we used Bernoulli's inequality}) \end{align}$$

Answer 2

Es cierto.

Primero demuestre la $q = 1$ -es decir, demostrar que para todos los enteros no negativos $x$ tenemos $x + 1 < 2^x$ . En segundo lugar, mostrar cómo el caso general se deriva de la aplicación repetida de este caso especial.