K3 superficies como completar las intersecciones

Question

Estoy siguiendo Beauville del libro "el Complejo de Superficies Algebraicas".

Si $S$ es un 3d de la superficie y $C$ es un suave no hyperelliptic curva de género g, entonces tenemos un birational de morfismos $\phi : S\rightarrow\mathbb{P}^g$, cuya restricción a $C$ es la canónica de morfismos $C\rightarrow\mathbb{P}^{g-1}$. Desde $S$ es mínima, es isomorfo a la superficie de la $\phi(S)$. El hyperplane secciones de $\phi(S)$ son las curvas de $H=\phi( C^\prime)$,$C^\prime\in|C|$.

$H^2=C^2=2g-2$.

Tenemos la secuencia exacta $$0 \rightarrow I \rightarrow \mathcal{O}_{\mathbb{P^g}}\rightarrow\mathcal{O}_{\phi(S)}\rightarrow 0,$$ donde $I$ es el ideal de la gavilla de $\phi(S)\subset\mathbb{P}^g$.

De esto podemos obtener también la secuencia exacta $$0\rightarrow I(k)\rightarrow\mathcal{O}_{\mathbb{P}^g}(k)\rightarrow\mathcal{O}_{\phi(S)}(k)\rightarrow 0,$$ donde $I(k)$ es la gavilla de los polinomios de grado $k$ que se desvanecen en $\phi(S)$.

El uso de la cohomology secuencia de $$h^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^g}(k))\leq h^0(I(k))+h^0(\mathcal{O}_{\phi(S)}(k)).$$

Si $g=4$, $\phi(S)$ tiene el grado $6$ y hemos $$h^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^4}(2))=15\,\,\,and\,\,\,h^0(\mathcal{O}_{\phi(S)}(2H))=14,$$

por lo $\phi(S)$ está contenida en un quadric de $\mathbb{P}^4$. Repitiendo el mismo argumento con $k=3$, obtenemos que $\phi(S)$ está contenida también en un cúbicos. Beauville, las reclamaciones que $\phi(S)$ es una completa intersección de la superficie de $S_{2,3}\subset\mathbb{P}^4$. Y estoy de acuerdo, ya que ambos tienen el mismo grado y $S_{2,3}$ es un 3d de la superficie, pero creo que tal vez esto no es suficiente como podemos ver en el siguiente ejemplo.

Repite el mismo argumento con $g=5$ y encuentra que $\phi(S)$ está contenida en 3 quadrics que son lineales independientes en $\mathbb{P}^5$. Esta vez, él no puede concluir que el $\phi(S)$ es una completa intersección $S_{2,2,2}\subset\mathbb{P}^5$. De hecho, en este caso, si $C$ admite un $g^1_3$ (es decir, un invertible gavilla $L$ de grado 3 tal que $h^0(C,L)=2$), $\phi(S)$ no es un completo intersección $S_{2,2,2}$ (ejercicio 11 de la misma sección del libro). Pero no veo ninguna diferencia con la $g=4$ de los casos, de hecho, $S_{2,2,2}$ es un 3d de la superficie de grado $8$, como $\phi(S)$.

No entiendo por qué en el caso de $g=4$ se puede concluir de una vez que el $\phi(S)$ es una completa intersección $S_{2,3}$, ya que en el segundo caso no se puede.

Answer 1

Suena como que usted ya tiene una respuesta satisfactoria, pero desde que he tratado de entender este también, aquí es lo que he entendido.

Por consideraciones de grado, no hay un único quadric $Q$ contiene $X = \varphi(S)$. Usted demuestra que $X$ está contenida en un cúbicos $F$, ya que los $h^0(\mathcal I_X(3))\ge 6$. El reducible cúbicas que contengan $X$ descomponer en los sindicatos de quadrics y aviones, y desde $X$ debe estar contenido en $Q$, este espacio es en la mayoría de las $5$ dimensiones (la ecuación de $Q$ los tiempos de una forma lineal). Por lo tanto, $X$ está contenida en una irreductible cúbico $F$ con $h^0(\mathcal I_X(3))\ge 6$. La intersección $Q\cap F$, entonces es un grado $6$ completa intersección de la superficie que contiene $X$, lo que también tiene un grado $6$, lo $X = Q\cap F$.

Cuando el género es $5$, lo único que consigue es que el $h^0(\mathcal I_X(2))\ge 3$, lo que implica que $X$ se encuentra en, al menos, $3$ linealmente independientes quadrics. Esto es más débil, ya que en el caso anterior, ya que la singularidad se produce un error. También, usando el mismo truco que antes, sólo sabemos que $h^0(\mathcal I_X(4))\ge 60$, mientras que el conjunto de reducible cuárticas en el ideal ha de dimensión al menos $63$ (golpe los tres independiente de la formas cuadráticas con términos cuadráticos), así que no hay nueva información a partir de esta dimensión de conteo. Por lo tanto, el mismo argumento que no sigue, y necesitamos más información para continuar. De hecho, como usted dice, Beauville da contraejemplos cuando hay un $g^1_3$.