Mientras escribía mis notas sobre cosmología, encontré este pequeño enigma, que no se describe en ninguno de mis libros sobre relatividad general.
Consideremos un espacio plano ( $k = 0$ ) lleno de materia similar al polvo, de densidad energética $\rho \propto a^{- 3}$ sin constante cosmológica ( $\Lambda = 0$ ). Es fácil encontrar el factor de escala cosmológica que resuelve las ecuaciones de Friedmann-Lemaître : $a(t) \propto t^{2/3}$ . Ahora, el horizonte de partículas distancia es esta : $$\tag{1} \mathcal{D}_P(t_0) = a(t_0) \int_0^{t_0} \frac{1}{a(t)} \; dt = 3 \, t_0. $$ En luminosidad distancia se define por $\mathcal{D}_L = \sqrt{L/4\pi F}$ donde $F$ es el flujo bolométrico en la ubicación del observador y $L$ es el luminosidad absoluta de la fuente de luz. Puede expresarse exactamente como una función del parámetro de corrimiento al rojo $z \equiv a(t_0)/a(t_e) - 1$ donde $t_e$ es el tiempo de emisión de la luz. Podemos escribir $t_e = t_0 - \delta t$ donde $\delta t$ es el tiempo de propagación de la señal luminosa. Para el universo de polvo introducido anteriormente, tenemos $$\tag{2} 1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_e)} \quad \Rightarrow \quad 1 - \frac{\delta t}{t_0} = \frac{1}{(1 + z)^{3/2}}. $$ Para $k = 0$ la distancia de luminosidad puede expresarse exactamente así : $$\tag{3} \mathcal{D}_L(t_0, z) = (1 + z) \, a(t_0) \int_{t_e}^{t_0} \frac{1}{a(t)} \; dt. $$ Para el universo de polvo, esta fórmula da este : $$\tag{4} \mathcal{D}_L(t_0, z) = \sqrt{1 + z} \, \big( \sqrt{1 + z} - 1 \big) \, 3 \, t_0 \equiv \sqrt{1 + z} \, \big( \sqrt{1 + z} - 1 \big) \, \mathcal{D}_P. $$ Así que la pregunta es
¿Puede el luminosidad distancia ser mayor que el distancia del horizonte de partículas ? ¿Tiene sentido tener $\mathcal{D}_L > \mathcal{D}_P$ ? En caso negativo, ¿cuál es el valor máximo del parámetro de corrimiento al rojo $z$ ?
La ecuación (4) da $\mathcal{D}_L \le \mathcal{D}_P$ si $z \le \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{5}) \approx 1.618$ (sorprendentemente el Proporción áurea !).
No sabía que hubiera un valor máximo para el parámetro de corrimiento al rojo.
La ecuación (2) da como resultado $\delta t_{\text{max}} = (3 - \sqrt{5}) \, t_0 \approx 0.764 \, t_0$ en lugar de $\delta t_{\text{max}} = t_0$ para $z \rightarrow \infty$ ( $t_0$ es la edad del universo).
Si hacemos el mismo ejercicio en el caso de la radiación pura ( $\rho \propto a^{- 4}$ , $a(t) \propto t^{1/2}$ ), obtenemos $z \le 1$ y $\delta t_{\text{max}} = \frac{3}{4} \; t_0 = 0.75 \, t_0$ .
¿Tienen sentido los cálculos anteriores?
¿Cuál es la interpretación de un corrimiento al rojo $z > z_{\text{max}}$ ?
