El límite de $n^2 f \left(a-\frac{b}{n}, b+\frac{a}{n} \right)$ .

Question

Sea $f : \mathbb{R}^2\to \mathbb R$ sea $C^2$ función de clase s.t. $$f(x,y)=0 \ \mathrm{ and } \ (f_x(x,y))^2+(f_y(x,y))^2=1$$ para $(x.y)\in C:=\{ (x,y) \mid x^2+y^2=1 \},$ y supongamos $f$ es monotónicamente creciente a medida que se aleja de $(0,0)$ en la línea media de $(0,0)$ a una dirección arbitraria.

Entonces, tengo que calcular $$\lim_{n\to \infty} n^2 f\left(u-\dfrac{v}{n}, v+\dfrac{u}{n}\right)$$ donde $(u,v)\in C.$

En el paso previo de este problema, tuve que demostrar

(i) $vf_x(u,v)=uf_y(u,v) $

(ii) $f_x(u,v)=u, f_y(u,v)=v $

(iii) $\begin{pmatrix} f_{xx}(u,v) & f_{xy}(u,v) \\ f_{yx}(u,v) & f_{yy}(u,v) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -v \\ u \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -v \\ u \\ \end{pmatrix}$

Por lo tanto, puedo utilizar estos (i)(ii)(iii) para calcular $\displaystyle\lim_{n\to \infty} n^2 f\left(u-\dfrac{v}{n}, v+\dfrac{u}{n}\right)$ pero no sé cómo.

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Dejar $\dfrac{1}{n}=m,$ Recibo $$\lim_{n\to \infty} n^2 f\left(u-\dfrac{v}{n}, v+\dfrac{u}{n}\right)=\lim_{m\to 0}\dfrac{f(u-vm, v+um)}{m^2}.$$

Esto parece ser lo relativo a la derivada, pero no pude proceder.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Pista: Si elige $f(x, y) = \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{2}$ entonces se ve que satisface todas las condiciones requeridas. Obsérvese que tenemos que \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty} n^2f(a-\frac{b}{n}, b+\frac{a}{n})=&\ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2}n^2\left((a-\frac{b}{n})^2+(b+\frac{a}{n})^2 -1\right)\\ =&\ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2}n^2\left( a^2+b^2 + \frac{1}{n^2}(a^2+b^2)-1 \right)\\ =&\ \frac{1}{2}(a^2+b^2). \end{align}

En general, por el teorema de Taylor, tenemos que \begin{align} f(x, y) = f(a, b) + f_x(a, b)(x-a)+f_y(a, b)(y-b) + \frac{1}{2}f_{xx}(a, b)(x-a)^2+ f_{xy}(a, b)(x-a)(y-b) + \frac{1}{2}f_{yy}(a, b)(y-b) + R_2(a, b, x, y). \end{align} donde $|R_2| \le C((x-a)^2+(y-b)^2)^{3/2}$ .

Por último, tenemos que \begin{align} f(a-\frac{b}{n}, b+\frac{a}{n}) = -\frac{b}{n}f_x(a, b)+\frac{a}{n}f_y(a, b)+ \frac{1}{2}f_{xx}(a, b)\frac{b^2}{n^2}-f_{xy}(a, b)\frac{ab}{n^2}+\frac{1}{2}f_{yy}(a, b)\frac{a^2}{n^2}+R_2(a, b, a-\frac{b}{n},b+\frac{a}{n}) \end{align} lo que significa \begin{align} n^2f(a-\frac{b}{n}, b+\frac{a}{n})=&\ -nbf_x(a, b)+naf_y(a, b)+ \frac{1}{2}f_{xx}(a, b)b^2-f_{xy}(a, b)ab+\frac{1}{2}f_{yy}(a, b)a^2+n^2R_2(a, b, a-\frac{b}{n},b+\frac{a}{n})\\ =&\ n (-b, a)\cdot (f_x(a, b), f_y(a, b))+ \frac{1}{2}f_{xx}(a, b)b^2-f_{xy}(a, b)ab+\frac{1}{2}f_{yy}(a, b)a^2+n^2R_2(a, b, a-\frac{b}{n},b+\frac{a}{n}). \end{align}

Observe que \begin{align} (-b, a)\cdot (f_x(a, b), f_y(a, b)) = 0 \end{align} (¿Por qué?). A continuación, observe también que \begin{align} n^2|R_2|\le Cn^2\frac{1}{n^3}\rightarrow 0 \end{align} como $n\rightarrow \infty$ .

Por lo tanto, tenemos que \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty} n^2f(a-\frac{b}{n}, b+\frac{a}{n}) = \frac{1}{2}[-b, a] \begin{bmatrix} f_{xx}(a, b) & f_{xy}(a, b)\\ f_{yx}(a, b) & f_{yy}(a, b) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix} . \.

Combinado con sus (i), (ii) y (iii) se obtiene el resultado deseado de \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty} n^2f(a-\frac{b}{n}, b+\frac{a}{n}) = \frac{1}{2}(a^2+b^2) \end{align}