Se llaman simetrías porque (cuando la simetría existe) conmutan con el segundo Hamiltoniano cuantizado:
$$\hat{H} = \sum_{AB}\hat{\psi}^{\dagger}_A H_{AB} \hat{\psi}_B,$$
donde $H_{AB}$ son los elementos matriciales del Hamiltoniano de una sola partícula:
Inversión del tiempo:
$$\hat{\mathcal{T}}\hat{H}\hat{\mathcal{T}}^{-1} = \hat{H}$$
Agujero de partículas:
$$\hat{\mathcal{C}}\hat{H}\hat{\mathcal{C}}^{-1} = \hat{H}$$
y quiral
$$\hat{\mathcal{S}} = \hat{\mathcal{C}} \hat{\mathcal{T}}$$
El único dato extra necesario para obtener su acción sobre el Hamiltoniano de una sola partícula, tal y como está escrito en la pregunta, es cómo se implementan sobre los operadores de creación y aniquilación:
$$\hat{\mathcal{T}}\hat{\psi}_A\hat{\mathcal{T}}^{-1} = \sum_B (U_T)_{AB} \hat{\psi}_B$$
$$\hat{\mathcal{C}}\hat{\psi}_A\hat{\mathcal{C}}^{-1} = \sum_B (U_C^*)_{AB} \hat{\psi}^{\dagger}_B$$
y además si son antiunitarios
$$\hat{\mathcal{T}}i\hat{\mathcal{T}}^{-1} = -i$$
( $U_T$ y $U_C$ son matrices unitarias)
Consulte el revise de Ludwig (secciones 1-2), y Ryu, Schnyder, Akira y Ludwig (La gran nota a pie de página después de la ecuación (5)), donde las condiciones anteriores se elaboran en la acción requerida en el Hamiltoniano de una sola partícula, y la elaboración adicional de las propiedades de las simetrías discretas.
Elaboración
El caso de la inversión temporal
Actuando mediante el operador de inversión temporal sobre el segundo hamiltoniano cuantizado, obtenemos $$ \begin{align} \hat{\mathcal{T}}\hat{H} \hat{\mathcal{T}}^{-1} &= \hat{\mathcal{T}}\hat{\psi}_A^{\dagger} \hat{\mathcal{T}}^{-1} \hat{\mathcal{T}}H_{AB} \hat{\mathcal{T}}^{-1} \hat{\mathcal{T}}\hat{\psi}_B\hat{\mathcal{T}}^{-1} \\ &= (U_T^*)_{AC} \hat{\psi}_C^{\dagger} H_{AB}^{*} (U_T)_{BD} \hat{\psi}_D = \hat{H} = \hat{\psi}^{\dagger}_C H_{CD} \hat{\psi}_D \end{align} $$ (Tenga en cuenta que cuando $\hat{\mathcal{T}}$ actúa sobre los parámetros numéricos $H_{AB}$ invierte el signo de $i$ y produce el conjugado complejo. Por lo tanto, obtenemos:
$$(U_T^*)_{AC} H_{AB}^{*} (U_T)_{BD} = H_{CD}$$
que son los componentes de la ecuación matricial:
$$U_T^{\dagger} H^{*} U_T = H$$
El caso del agujero de la partícula (conjugación de cargas) ,
Toma:
$$ \begin{align} \hat{\mathcal{C}} \hat{H} \hat{\mathcal{C}}^{-1} &= \hat{\mathcal{C}} \hat{\psi}_A^{\dagger} \hat{\mathcal{C}}^{-1} \hat{\mathcal{C}} H_{AB} \hat{\mathcal{C}}^{-1} \hat{\mathcal{C}} \hat{\psi}_B \hat{\mathcal{C}}^{-1} \\ &= (U_C)_{AD} \hat{\psi}_D H_{AB} (U_C^*)_{BC} \hat{\psi}_C^{\dagger} \\ &=-\hat{\psi}_C^{\dagger} (U_C^t)_{DA}H_{AB} (U_C^*)_{BC} \hat{\psi}_D = \hat{H} = \hat{\psi}^{\dagger}_C H_{CD} \hat{\psi}_D \end{align} $$
(Aquí la acción de $\hat{\mathcal{C}}$ sobre los parámetros numéricos $H_{AB}$ es trivial porque la conjugación de cargas es un operador unitario). El signo menos se obtiene invirtiendo el orden de $\psi$ y $\psi^{\dagger}$ que son variables de Grassmann. La última igualdad es equivalente a la ecuación matricial:
$$-U_C^{t} H (U_C)^*= H^t$$
Tomando el conjugado complejo de ambos lados, obtenemos:
$$U_C^{\dagger} H^* {U_C}= -H^{\dagger} = -H$$
