Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Question

Tengo la siguiente exepresión en mi libro:

$$\frac{dx}{dt}+a_1(t)x=g(t), \ \ \ \ x(t_0)=x_0$$

Luego dice, multiplica ambos lados de la ecuación diferencial por el factor integrador $I(t)$ .

$$I(t) \frac{dx(t)}{dt}+a_1(t)I(t)x(t)=I(t)g(t)$$

Hasta aquí todo bien. A partir de ahora dice, el lado izquierdo es una derivada exacta.

$$\frac{d[x(t)I(t)]}{dt}=I(t)g(t)$$

Y mi pregunta es, ¿cómo llega el libro al final? ¿Alguien puede dar una pista.

Answer 1

Supongo que el factor integrador $I$ se define por $$I(t) = \exp\left(\int_{t_0}^t a_1(s)\, ds\right)$$ y, por tanto, tiene la propiedad $$I'(t) = \exp\left(\int_{t_0}^t a_1(s)\,ds\right)a_1(t) = I(t)a_1(t)$$ así que $$\frac{d}{dt}\bigl(x(t)I(t)\bigr) = \frac{d}{dt}x(t)\cdot I(t) + x(t) \cdot \frac{d}{dt} I(t) = \frac{d}{dt}x(t)\cdot I(t) + x(t)a_1(t)I(t)$$ que es el lado izquierdo.