Convención de firma métrica: $(+---)$ .
En primer lugar, hay que tener en cuenta que la dinámica física se decide en última instancia por las ecuaciones de movimiento, que se obtienen a partir del Lagrangiano $\mathcal{L}$ tras aplicar el principio de mínima acción. El término cinético en un $1$ -La teoría de campo derivada (antes de la integración por partes) es la siguiente $\mathcal{L} \sim \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi \sim -\phi \square \phi$ cuyas ecuaciones de movimiento son $\square \phi + \cdots = 0$ . Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, por lo que necesita dos condiciones iniciales si se quiere simular el sistema.
La razón por la que la gente se pone nerviosa cuando ve derivadas superiores en los lagrangianos es que normalmente conducen a fantasmas: términos cinéticos de signo erróneo, que normalmente conducen a inestabilidades del sistema. Antes de pasar a la teoría de campos, en mecánica clásica, la Inestabilidad Ostrogradsky dice que los Lagrangianos no degenerados con derivadas temporales de orden superior al primero conducen a un Hamiltoniano $\mathcal{H}$ con uno de los momentos conjugados que se produce linealmente en $\mathcal{H}$ . Esto hace que $\mathcal{H}$ sin límites desde abajo. En la teoría de campos, términos cinéticos como $\mathcal{L} \sim \square \phi (\square+m^2) \phi$ son malas porque conducen a energías negativas/inestabilidad de vacío/pérdida de unitaridad. Tiene un propagador que va como $$ \sim \frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^2-m^2}$$
donde el grado de libertad masivo tiene un signo incorrecto. En realidad, en una teoría libre, se pueden tener derivadas mayores en $\mathcal{L}$ y estar bien con ello. No "verás" el efecto de tener energías ilimitadas hasta que dejes que tu sistema fantasma interactúe con un sector sano. Entonces, un sistema fantasma con Hamiltoniano no limitado desde abajo interactuará con un sistema sano con Hamiltoniano limitado desde abajo. La conservación de la energía y el momento no les impide intercambiar energía entre sí indefinidamente, lo que conduce a inestabilidades. En un cuántico teoría de campos, las cosas se ponen feas desde el principio porque (si tu teoría tiene un sector sano, como nuestro mundo real) el vacío es en sí mismo inestable y nada le impide descomponiéndose en un par de fantasmas y fotones por ejemplo.
Este problema de los fantasmas se suma a la consternación general que uno tiene cuando se le exigen muchas condiciones iniciales para abordar el problema del valor inicial.
Además, en ciertas teorías de campo efectivo, se pueden obtener gradientes espaciales de signo erróneo $ \mathcal L \sim \dot{\phi}^2 + (\nabla \phi)^2$ . (Obsérvese que aquí se rompe la invariancia de Lorentz). Esto conduce a inestabilidades de gradiente.
