Multiplicadores de Lagrange - Perturbación de las restricciones

Question

Últimamente he pasado algún tiempo aprendiendo sobre los multiplicadores de Lagrange.

Sin embargo, hay algo que me desconcierta. Leyendo por ahí (también en Wikipedia) he visto varias veces la interpretación de que los multiplicadores de Lagrange representan la tasa de cambio del valor óptimo de la función cuando se perturba una restricción.

Más formalmente, al resolver el problema: $ min f(x)$ tal que $h_1(x) = 0, h_2(x)=0.. h_i(x) = r, ... h_m(x) = 0 $ y al denotar la solución óptima por $x(r)$ obtenemos que $\frac{df}{dr}x(r) = - \lambda_i$ .

En primer lugar, ¿no debería $\frac{df(x(r))}{dr}$ ?

En segundo lugar, ¿qué lambdas? Estamos variando el $r$ y por lo que veo no hay garantía de que los multiplicadores de Lagrange sean los mismos para todos $r$ - aunque la condición de Lagrange es la misma, las restricciones son diferentes). ¿Es para $r$ = 0? En ese caso, la prueba que he visto hasta ahora no funcionaría (sólo utiliza la regla de la cadena en la función, y luego utiliza la condición de Lagrange que se cumple en $x(r)$ con los multiplicadores fijados en $\lambda_i$ .)

¿Puede alguien explicarme esto? No está claro de dónde salen los multiplicadores de Lagrange en este caso.

Answer 1

Tienes razón en que debería ser ${d\over dr}f(x(r))$ .

El resultado será verdadero para cualquier $r$ . Cuando resuelvas el problema de Lagrange, encontrarás $x=x(r)$ y $\lambda=\lambda(r)$ . Sustituir $x=x(r)$ en la función objetivo, y se obtiene la fórmula general $${d\over dr}f(x(r))=-\lambda_i(r)$$