¿Es el grupo $G =\{a+b\sqrt{2}|a,b \in \mathbb{Z}\}$ ¿Cíclico?

Question

$G = \{a+b\sqrt{2}|a,b \in \mathbb{Z}\}$ bajo adición:

Voy a decir que no es cíclico porque a,b pueden ser distintos. He intentado encontrar un generador.

Answer 1

En efecto, no es cíclico: puesto que $\sqrt{2}$ es irracional, la única forma de que la suma sea un número entero es si $b=0$ lo que significa que no existen relaciones aditivas entre $a$ y $b$ y el grupo es isomorfo a es isomorfo a $\Bbb Z\oplus\Bbb Z$ .