Sea $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ sea la función $f(x,y) = (x+iy) (x^2 + y^2)$ . Su derivada es
$$ \mathrm{d}f = (x^2 + y^2) \mathrm{d}(x + i y) + 2(x + i y) (x \mathrm{d}x + y \mathrm{d}y) $$
que satisface
$$ |\mathrm{d}f| \leq C(x^2 + y^2) $$
Integrando a lo largo de la recta que une $v,w\in \mathbb{C}$ da
$$ |f(w) - f(v) | \leq C \max(|v|^2,|w|^2) |v-w| \leq C(|v|^2 + |w|^2) |v-w|$$
Ahora dejemos que $w,v$ ser diferenciable $\mathbb{C}$ funciones valoradas.
Dado que se aplica a funciones en $L^2$ esto está bien por la densidad.
Como parece que hay cierta confusión, permítanme que lo explique con un poco más de detalle.
Sea $u_s = (1-s) v + s w$ para que $u_0 = v$ y $u_1 = w$ sea una familia de funciones de un parámetro. Lo que debemos hacer es calcular
$$ \nabla f(v) - \nabla f(w) = \nabla f(u_0) - \nabla f(u_1) = \int_1^0 \partial_s \nabla f(u_s) \mathrm{d}s $$
El término (escritura $u = u_s$ y $\dot{u} = \partial_s u_s$ )
$$ \partial_s \nabla f(u) = \nabla \left[ 2\bar{u} u \dot{u} + u^2 \dot{\bar{u}}\right] $$
Poner en $\nabla$ ves que por la regla del producto tienes
$$ \partial_s \nabla f(u) = 2 \nabla \bar{u} u \dot{u} + 2 \bar{u} \nabla u \dot{u} + 2 \bar{u} u \nabla \dot{u} + 2 u \nabla u \dot{\bar{u}} + u^2 \nabla \dot{\bar{u}} $$
Ahora bien, puesto que $u$ es lineal en $s$ para cada componente del $\nabla$ el término con $\dot{u}$ está firmado. Así que poniendo signos de valor absoluto e integrando ambos lados se obtiene la desigualdad deseada.
