Prueba $[0, 1]$ y $(0, 1]$ son equinuméricos mediante el uso de la biyección

Question

Lo que yo pensaba era que la biyección era una función a trozos:

$f(x) = 1/n+1$ si $x = 1/n$ para algunos $n \in \Bbb N$ y $x=1/n$ si $x \neq1/n$ para algunos $n \in \Bbb N$ .

Sin embargo, el libro de texto dice que esto es incorrecto. En realidad no veo por qué. ¿Fue una cuestión de paréntesis o de la variable abierta $(0,1]$ que es lo que tiendo a pensar.

Answer 1

Hay varios problemas con lo que propones.

En primer lugar, tenga en cuenta que $f(x)\not\in [0, 1]$ si $x={1\over n}$ ¡! Así que esta función ni siquiera tiene el codominio correcto.

En segundo lugar, en realidad no lo has definido del todo: ¿qué exactamente es $f(x)$ si $x\not={1\over n}$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ ?

Por último, pareces estar asumiendo que hay tantos números en $[0, 1]$ que sean de la forma ${1\over n}$ como números que son no de esa forma. Sin embargo falso la primera es contable, mientras que la segunda es incontable.

Así que definitivamente esta no es la dirección correcta a seguir.

Answer 2

Ya señalaron lo que está mal con su función propuesta, así que voy a mostrar uno de trabajo.

Elija una secuencia $\{S_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $S_0=0$ , $S_n\in(0,1]$ para cada $n>0$ y los términos son todos distintos.

Consideremos ahora la función $f:[0,1]\to(0,1]$ que envía $S_n$ en $S_{n+1}$ y $x$ en sí mismo si no es uno de los $S_n$ es una biyección entre $[0,1]$ y $(0,1]$