Lo que yo pensaba era que la biyección era una función a trozos:
$f(x) = 1/n+1$ si $x = 1/n$ para algunos $n \in \Bbb N$ y $x=1/n$ si $x \neq1/n$ para algunos $n \in \Bbb N$ .
Sin embargo, el libro de texto dice que esto es incorrecto. En realidad no veo por qué. ¿Fue una cuestión de paréntesis o de la variable abierta $(0,1]$ que es lo que tiendo a pensar.
Hay varios problemas con lo que propones.
En primer lugar, tenga en cuenta que $f(x)\not\in [0, 1]$ si $x={1\over n}$ ¡! Así que esta función ni siquiera tiene el codominio correcto.
En segundo lugar, en realidad no lo has definido del todo: ¿qué exactamente es $f(x)$ si $x\not={1\over n}$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$ ?
Por último, pareces estar asumiendo que hay tantos números en $[0, 1]$ que sean de la forma ${1\over n}$ como números que son no de esa forma. Sin embargo falso la primera es contable, mientras que la segunda es incontable.
Así que definitivamente esta no es la dirección correcta a seguir.
Ya señalaron lo que está mal con su función propuesta, así que voy a mostrar uno de trabajo.
Elija una secuencia $\{S_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $S_0=0$ , $S_n\in(0,1]$ para cada $n>0$ y los términos son todos distintos.
Consideremos ahora la función $f:[0,1]\to(0,1]$ que envía $S_n$ en $S_{n+1}$ y $x$ en sí mismo si no es uno de los $S_n$ es una biyección entre $[0,1]$ y $(0,1]$
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