Intuición tras la relación de dispersión de las ondas de Airy

Question

Utilizando la teoría de ondas de Airy, se puede deducir la relación de dispersión de las ondas de agua (bajo algunos supuestos físicos): $$ \omega^2 = gk\tanh{kh} $$ donde $k$ es el número de onda, $h$ la distancia entre la superficie en reposo y el fondo del mar, y $g$ es la atracción gravitatoria de la Tierra. Bajo la aproximación de $h>\frac{\pi}{k}$ ("aproximación de aguas profundas"), se obtiene que $$ \omega \approx \sqrt{gk} $$ y bajo la aproximación de $h < \frac{\pi}{10k}$ ("aproximación de aguas poco profundas"), se obtiene $$ \omega \approx \sqrt{gh}|k| $$ (resultados obtenidos de wikipedia).

¿Cómo se concilia esto con la intuición? Yo esperaría que las ondas de agua actuasen de forma más extraña en aguas poco profundas, ya que tenemos más efectos límite del fondo del mar (reflejos y esas cosas), mientras que en aguas profundas, estos efectos decaen antes de llegar a la superficie.

Answer 1

Tiene una buena pregunta. La única respuesta que se me ocurre en este momento no es muy satisfactoria. Mantendré tu pregunta en mi cabeza durante unos días y actualizaré mi respuesta si se me ocurre algo. Mientras tanto, puedes utilizar el análisis dimensional.

Le interesa la diferencia entre el fase y grupo velocidades, \begin{align} v_{\text{ph}} = \frac{\omega}{k}\, , && v_{\text{gr}} = \frac{d \omega}{d k} \, . \end{align} Cuando son iguales, los paquetes de ondas viajan a la misma velocidad que las ondas monocromáticas. Esto ocurre con las ondas de aguas poco profundas. Si no lo son, se tiene dispersión .

Si simplemente adivinara la forma de $v_{\text{ph}}$ los únicos parámetros a su disposición son $k$ , $h$ y $g$ . Hay dos formas de hacer algo que tenga la dimensión de una velocidad, \begin{align} v_{\text{ph}} \sim \sqrt{g h}\, , && v_{\text{ph}} \sim \sqrt{\frac{g}{k}} \, . \end{align}

En el límite de aguas profundas, $h$ no juega ningún papel y se obtiene $v_{\text{ph}} \sim \sqrt{g/k}$ y $\omega \sim \sqrt{g k}$ . Entonces usted sabe que las olas de aguas profundas dispersión.

Sé que esto no es en absoluto una explicación de la presencia (o ausencia) de dispersión en las olas de aguas profundas (o poco profundas). Sin embargo, puede dar una pista: hay dispersión cuando la profundidad del agua no importa.

Answer 2

Tenga en cuenta que $k>0$ así que en aguas poco profundas $\omega \approx \sqrt{gh}k$ . Se trata de ondas superficiales puras cuyas amplitudes son mucho menores que la profundidad, y también se supone que no se propagan otras ondas, por lo que las reflexiones del fondo se ignoran por completo.