Nos dan
$$P_n(x) = 1+2x+3x^2+\cdots +nx^{n-1} \tag{1}\label{eq1A}$$
Con la primera solución vinculada, hay un complejo $z$ y números enteros $i \neq j$ con $P_i(z)=P_j(z)=0$ y $w = z^{-1} \neq 0, 1$ . Así, $z = w^{-1}$ por lo que, utilizando \eqref {eq1A} con $P_i(w^{-1})$ y multiplicando ambos lados por $w^{-1}$ obtenemos
$$\begin{equation}\begin{aligned} 0 & = \color{blue}{1 + 2w^{-1} + 3w^{-2} + \cdots + iw^{-(i-1)}} \\ & = (w^{-1} + 2w^{-2} + 3w^{-3} + \cdots + (i-1)w^{-(i-1)}) + iw^{-i} \\ & = (\color{blue}{1 + 2w^{-1} + \cdots + iw^{-(i-1)}}) - (1 + w^{-1} + \cdots + w^{-(i-1)}) + iw^{-i} \\ & = 0 - \frac{1-w^{-i}}{1-w^{-1}} + iw^{-i} \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$
Utilizando $n = i + 1$ esto da
$$\begin{equation}\begin{aligned} \frac{1-w^{-i}}{1-w^{-1}} &= iw^{-i} \\ \frac{w^{i}-1}{1-w^{-1}} & = i \\ w^{i}-1 & = i(1- w^{-1}) \\ w^{i+1}-w & = i(w - 1) \\ w^{i+1} & = (i+1)w - (i + 1 - 1) \\ w^n & = nw - n + 1 \end{aligned}\end{equation}\tag{3}\label{eq3A}$$
El mismo resultado se aplica a $P_j(w^{-1})$ . Tenga en cuenta que otra forma de conseguirlo es utilizar, para $x \neq 1$ que
$$f_n(x) = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n = \frac{x^{n+1}-1}{x - 1} \tag{4}\label{eq4A}$$
para luego obtener
$$P_n(x) = \frac{df_n(x)}{dx} = \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2} \tag{5}\label{eq5A}$$
Sobre el corolario $2$ de la segunda solución, tenemos
$$f(x) = a_0 + a_{1}x + \cdots + a_{n}x^{n} \tag{6}\label{eq6A}$$
Entonces la solución dice que hay que utilizar $f(x/R)$ pero debería ser $f(Rx)$ para que se convierta en
$$\begin{equation}\begin{aligned} f(Rx) & = a_0 + (Ra_{1})x + \cdots + (R^{n}a_{n})x^{n} \\ g(x) & = b_0 + b_{1}x + \cdots + b_{n}x^{n} \end{aligned}\end{equation}\tag{7}\label{eq7A}$$
donde $g(x) = f(Rx)$ y
$$b_i = R^{i}a_i \; \forall \; 0 \le i \le n \tag{8}\label{eq8A}$$
Utilizando $R = \max\{a_0/a_1,\ldots,a_{n-1}/a_{n}\}$ , \eqref {eq8A}, obtenemos entonces para todo $0 \le i \le n-1$ que
$$\begin{equation}\begin{aligned} R & \ge a_{i}/a_{i+1} \\ Ra_{i+1} & \ge a_{i} \\ R^{i+1}a_{i+1} & \ge R^{i}a_{i} \\ b_{i+1} & \ge b_{i} \end{aligned}\end{equation}\tag{9}\label{eq9A}$$
Como esto cumple las condiciones del lema $1$ todas las raíces $z_1$ de $g(x)$ tienen $\lvert z_1 \rvert \le 1$ . Así, con $f(Rx)$ todas sus raíces correspondientes $z = Rz_1$ tienen $\lvert z \rvert = \lvert Rz_1\rvert = R\lvert z_1\rvert \le R$ .
Mostrar $r \le \lvert z \rvert$ puede hacerse de forma similar, salvo que $f(rx)$ en lugar de $f(x/r)$ . Un procedimiento similar al \eqref {eq7A} y \eqref {eq8A} da, con $x \neq 0$ que
$$f(rx) = h(x) = c_0 + c_{1}x + \cdots + c_{n}x^{n} = x^{n}(c_0(x^{-1})^{n} + c_1(x^{-1})^{n-1} + \cdots + c_{n}) \tag{10}\label{eq10A}$$
con $c_{i+1} \le c_{i} \; \forall \; 0 \le i \le n - 1$ . Como se indica en la solución, el polinomio a la inversa utilizando $\frac{1}{x}$ da un conjunto de coeficientes positivos no decrecientes, por lo que el lema $1$ se aplica para dar que todas las raíces $\left\lvert \frac{1}{z_1}\right\rvert \le 1 \; \to \; \lvert z_1 \rvert \ge 1$ . Así, con $f(rx)$ tenemos las raíces $z = rz_1$ Así que $\lvert z\lvert = \lvert rz_1\rvert = r\lvert z_1\rvert \ge r$ .
