Mostrar $\mathrm{span}\{1, x^2, x^4, \cdots \}$ no es denso en $C([-1,1])$

Question

Sea $C[-1,1]$ denotan el espacio de Banach de funciones continuas de valor real sobre $[-1,1]$ equipado con la norma supremum. Determine si $\mathrm{span}\{1, x^2, x^4, \cdots \}$ es denso en $C([-1,1])$ .

Primero, lo he comprobado con el teorema de Stone-Weierstrass. Tenga en cuenta que si tenemos $1, -1$ entonces no podemos encontrar ninguna función que separe los puntos. Así que quiero mostrar $\mathrm{span}\{1, x^2, x^4, \cdots \}$ no es denso en $C([-1,1])$ .

Así que queremos demostrar que existe algún $\epsilon>0$ y $f\in C[-1,1]$ tal que $\sup_{x\in [-1,1]}|g(x)-f(x)|>\epsilon$ para todos $g \in \mathrm{span}\{1, x^2, x^4, \cdots \}$ .

Estoy pensando en utilizar algunas funciones como $f(x)=x,x^3, x^5, \cdots$ . Además, sé $g(x)= \sum_{k=0}^n a_k x^{2k}$ . Pero estoy atascado encontrar el $\epsilon$ .

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Pista: Recuerda que algo en el intervalo es una combinación finita de elementos del conjunto. Por lo tanto $2n$ sea la mayor potencia de $x$ presente en un elemento genérico del span, por lo que una función genérica tiene el siguiente aspecto $$\sum_{i=0}^{n}a_ix^{2i}$$ Veamos la distancia de una función de esta forma a $x$ $$\sup_{x\in [-1,1]} |x-\sum_{i=0}^{n}a_ix^{2i}| $$ En $x=0$ tenemos la diferencia es $a_0$ . En $x=1$ tenemos $$|1-\sum_{i=0}^{n}a_i|$$ En $x=-1$ tenemos $$|-1-\sum_{i=0}^{n}a_i|$$

Elija cualquier $\epsilon$ que quieras. ¿Hay alguna manera de hacer que esta suma sea menor que en ambos $x=1$ y $x=-1$ ?

Answer 2

Todas las funciones de $\{1, x^2,x^4,\dots\}$ están en paz. Por lo tanto, también lo son todas sus combinaciones lineales, es decir, todas las funciones de su ámbito. Por último, cualquier límite (con respecto a la norma del sumo, o cualquier otra norma razonable) de funciones pares es par. Por tanto, el cierre del espacio, a diferencia de todo el espacio $C([-1,1])$ consta sólo de funciones pares. [Esto es esencialmente lo mismo que la respuesta de Alan, pero aislando lo que considero los puntos esenciales].

Answer 3

Sea $\varphi$ sea la función lineal definida en $C[-1,1]$ mediante la fórmula $$\varphi(f)=f(1)-f(-1)$$ Es evidente que esta función está acotada $(\|\varphi\|=2)$ y distinto de cero, ya que $\varphi(x)=2.$ Así $\ker \varphi$ es un subespacio propio cerrado de $C[-1,1]$ que contiene el tramo lineal de todos los $x^{2n}.$ Por lo tanto, el tramo lineal no es denso.