Sólo estaba tratando de dar sentido a lo que $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ realmente quería decir. Todos sabemos que los principales ideales de $\mathbb Z$ son de la forma $p\mathbb Z$ para primos p, y por supuesto el ideal cero. Esta pregunta consta de dos partes, así que si no estás interesado en comprobar mi trabajo, mi verdadera pregunta está al final.
La topología de Zariski en $\operatorname{Spec}(\mathbb Z)$ es precisamente la topología del complemento finito, ya que para cualquier conjunto finito de ideales primos $\{p_i \mathbb Z,1\le i\le n\}$ = $V(p_1...p_n \mathbb Z)$ utilizando la notación de Hartshorne donde $V(a)$ es el conjunto de ideales primos que contienen $a$ .
Ahora bien, ¿cuál es la estructura gavilla, $\mathscr{O}$ ¿De este espacio?
Cualquier conjunto abierto $U$ es de la forma $\operatorname{Spec}(\mathbb Z) -\{p_i \mathbb Z\}$ .
Sabemos que para todos $s \in \mathscr{O}(\operatorname{Spec}(\mathbb Z) - \{p_i\mathbb Z\})$ y puntos $x\in U$ hay una $V$ = $\operatorname{Spec}(\mathbb Z) -\{p_i\mathbb Z, q_i\mathbb Z\}$ subconjunto de $U$ que contiene $x$ tal que $s(x)=\frac{a}{f}$ donde $f$ no está en ninguno de los ideales de $V$ . Por tanto, f sólo consta de factores primos $p_i$ o $q_i$ .
Ahora, $s(x) = a/f$ pero también sabemos que si $W = \operatorname{Spec}(\mathbb Z)- \{p_i\mathbb Z, r_i\mathbb Z\}$ es otro subconjunto abierto de U que contiene un punto arbitrario $x'$ que $W$ y $V$ deben intersecarse de forma no trivial. Por tanto, como s(x) es constante en $V$ y constante en $W$ $s(x) = s(x')$ .
Esto demuestra la inyectividad y la "buena definición" de la función
$$\mathscr{O}(\operatorname{Spec}(\mathbb Z) -\{p_i \mathbb Z\})\rightarrow \{\frac{a}{f}: a\in \mathbb Z, f\in p_1...p_n\mathbb Z\}$$
Dada por $s \mapsto s(u) $ para algunos $u\in U$ .
La subjetividad es fácil de comprobar.
Por tanto, se trata de un isomorfismo de anillo y los mapas de restricción de $\mathscr O$ se convierten en inclusiones $\{\frac{a}{f}: a\in \mathbb Z, f\in p_1...p_n\mathbb Z\} \rightarrow \{\frac{a}{f}: a\in \mathbb Z, f\in q_1...q_n p_1...p_n\mathbb Z\}$ .
(Por favor, revise todo mi trabajo, soy nuevo en este tema)
Por último, ¿a dónde nos lleva esto?
Hay un ejercicio en Hartshorne que nos pide probar que $\operatorname{Spec}(\mathbb Z)$ es un objeto terminal en la categoría de esquemas. Si realmente es un objeto terminal, entonces dejar que $f: X \rightarrow \operatorname{Spec}(\mathbb Z)$ tomar cada punto de $X$ al ideal cero es obviamente continua y dejando que el morfismo asociado de gavillas sea el morfismo cero esto nos da obviamente un morfismo de esquemas. Pero, ¿por qué tenemos que elegir el ideal cero? ¿No podemos dejar que $f$ mapear todos los puntos de $X$ a cualquier ideal y dejando que el morfismo de láminas sea el morfismo cero nos da dos mapas $X \rightarrow \operatorname{Spec}(\mathbb Z)$ que no son iguales?
