He descubierto algunos patrones en algunas de mis parcelas de números palindrómicos. Los patrones son visibles sólo cuando se eligen números primos, y los gráficos parecen tener múltiples simetrías horizontales. Los gráficos son más detallados para los números más grandes. Estas observaciones están relacionadas con los trazados asimétricos, en la parte inferior de mi post anterior (bajo simetría ) .
(no estoy seguro de que el post enlazado sirva de ayuda; ya que creo que toda la información importante ya está escrita más abajo)
Primera simetría - Patrón fácil
Las simetrías horizontales contienen estructuras que parecen parábolas. El eje horizontal central contiene dos de estas estructuras únicas. A veces, la estructura de la izquierda es más gruesa y a veces la de la derecha es más gruesa; pero la forma es la misma: parecen parábolas punteadas. (todas las estructuras parecen curvas punteadas con aspecto de parábola)
Basado en cuando el derecho / izquierdo es más grueso; Dividí números primos en dos grupos;
derecha y izquierda caras;
Primero observé algunos primos de lado izquierdo y derecho. Entonces me di cuenta de que si el espacio hasta el siguiente primo es divisible por cuatro, el siguiente primo será será del mismo lado; y si no lo es, el siguiente primo será de lado opuesto. Entonces aquí está la secuencia donde $3$ es el primo inicial del lado derecho; ( lado derecho | lado izquierdo )
3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 $\dots$
Resulta que, si se agrega uno a la derecha - y a la derecha a lo largo de la recta numérica ; y ahora el resultado es divisible por cuatro. Si haces lo contrario con el lado izquierdo; restas uno; ahora son divisible por cuatro.
Esto significa que estos primos son de formas $4n-1$ (primos derechos) y $4n+1$ (primos izquierdos) ; que es una definición sencilla y completa para los dos grupos de primos.
Al principio pensé que el engrosamiento del lado izquierdo/derecho era pura coincidencia, pero resulta que está bien definido. La estructura más gruesa parece contener el doble de píxeles que la otra.
Segunda simetría - ¿Patrón duro?
Hay infinitas simetrías que forman patrones periódicos en esas parcelas. El segundo ya me deja perplejo. La segunda simetría horizontal contiene tres estructuras distintas; son siempre las mismas para todos los primos; pero cambian su orden periódicamente.
He llamado a las tres estructuras R , G y B ;
Según el orden en que aparecen en los gráficos, los números primos pueden clasificarse en seis categorías:
RGB, RBG, GBR, GRB, BRG y BGR.
Curiosamente, las tres estructuras (R,G y B) son siempre iguales, pero en los números RGB, GBR y BRG son imágenes especulares, invertidas horizontalmente.
Entonces, anoto los grupos como: RGB+, RBG-, GBR+, GRB-, BRG+ y BGR-, para indicar con +/- si las estructuras son especulares.
Así, tenemos seis grupos de primos para el segundo patrón. Pero para hacerlos más atractivos, vamos a asignar un color a cada grupo;
-
Si hay un + en la notación RGB, colorea el primo en el primer símbolo $\to$ en RGB+ tomamos R, que es Rojo.
-
Si hay un -, entonces mezcla el segundo y el tercer símbolo $\to$ RBG- significa B + G = Cian
Entonces tenemos los primos como sigue:
$\color{red}{\text{Red primes:}}$ $3,7,43,61,79,97,151,223,241,277,313,331,349,367\dots$
$\color{darkcyan}{\text{Cyan primes:}}$ $5,23,41,59,113,131,149,167,239,257,293,311,383\dots$
$\color{green}{\text{Green primes:}}$ $13,31,67,103,139,157,193,211,229,283,337,373\dots$
$\color{magenta}{\text{Magenta primes:}}$ $17,53,71,89,107,179,197,233,251,269,359,431\dots$
$\color{blue}{\text{Blue primes:}}$ $19,37,73,109,127,163,181,199,271,307,379,397\dots$
$\color{darkorange}{\text{Yellow primes:}}$ $11,29,47,83,101,137,173,191,227,263,281,317\dots$
Ninguna de estas secuencias de grupos figura en la OEIS.
Al principio, no noté ningún patrón evidente. Pero estos nuevos grupos ¡también están relacionados con los huecos primos! Podemos calcular de qué color es el número primo, mediante la siguiente regla todos los números primos hasta ahora;
Comience con $3$ y que sea RGB+, entonces aplica las siguientes reglas:
Si el próximo primer hueco es $2+18k$ o $16+18k$ donde $k$ es un número entero no negativo $\to$ sustituir B y G, e invertir el +/- en el final. Ejemplo ya que la brecha de $3$ a $5$ es $2$ , $3$ i entonces $5$ es RBG-
Para lagunas de $4+18k$ y $14+18k$ sustituimos B y R, e invertimos +/-
Para lagunas de $6+18k$ mueve cada símbolo a la izquierda. Ejemplo: si tenemos el primo RGB+; el siguiente primo se convertiría en GBR+ si hubiera un hueco de por ejemplo $6$ entre estos dos primos.
Para las lagunas $8+18k$ y $10+18k$ sustituye G y R, e invierte +/-
Para las lagunas $12+18k$ mueve cada símbolo a la derecha.
Para las lagunas $18k$ los dos primos con esta diferencia estarán en el mismo grupo.
Como puedes ver, para obtener el siguiente primo necesitamos conocer el anterior Este es un método de generación recursivo.
Nota, los grupos RGB-, RBG+, GBR-, GRB+, BRG- y BGR+ no existen.
Tenga en cuenta también que el número $2$ no puede determinarse ya que la brecha $1$ no aparece con números primos grandes; y no se ve ninguna estructura con un número primo tan bajo. ¿Cómo he calculado $RGB+$ para $3$ en primer lugar, si no se ve nada claramente en primos pequeños? He confirmado los grupos de primos más grandes y trabajé mi camino hacia abajo con las reglas de brecha confirmados anteriormente.
Pregunta
Mi pregunta es la siguiente; ¿se puede encontrar una fórmula más sencilla para los primos en estos grupos? ¿Existe una expresión de secuencia algebraica no recursiva para generar estos primos por grupos?
El patrón está esencialmente definido por el método recursivo; pero ¿puede encontrar formas cerradas para cada grupo de primos?
¿Existe alguna expresión para estos primos coloreados, como $4n\pm1$ para primos de lado derecho/izquierdo? No espero que sea tan sencillo.
El problema principal es, si tomo un número primo $p$ ¿De qué color es? ¿Podemos determinarlo sin conocer los colores de los primos anteriores o siguientes?
Aquí están los primeros $200$ primos en orden, coloreados según su grupo:
Aquí están los primeros $500$ primos ordenados por el método; por orden de colores:
3,7,43,61,79,97,151,223,241,277,313,331,349,367,421,439,457,547,601,619,673,691,709,727,853,907,997,1033,1051,1069,1087,1123,1213,1231,1249,1303,1321,1429,1447,1483,1609,1627,1663,1699,1753,1789,1861,1879,1933,1951,1987,2113,2131,2203,2221,2239,2293,2311,2347,2383,2437,2473,2617,2671,2689,2707,2797,2833,2851,2887,3049,3067,3121,3229,3301,3319,3373,3391,3463,3499,3517,3571
5,23,41,59,113,131,149,167,239,257,293,311,347,383,401,419,491,509,563,599,617,653,743,761,797,887,941,977,1013,1031,1049,1103,1193,1229,1283,1301,1319,1373,1409,1427,1481,1499,1553,1571,1607,1697,1733,1787,1823,1877,1913,1931,1949,2003,2039,2111,2129,2237,2273,2309,2381,2399,2417,2543,2579,2633,2687,2741,2777,2903,2939,2957,3011,3083,3119,3137,3191,3209,3299,3371,3389,3407,3461,3533
13,31,67,103,139,157,193,211,229,283,337,373,409,463,499,571,607,643,661,733,751,769,787,823,859,877,967,1021,1039,1093,1129,1201,1237,1291,1327,1381,1399,1453,1471,1489,1543,1579,1597,1669,1723,1741,1759,1777,1831,1867,1993,2011,2029,2083,2137,2281,2371,2389,2551,2659,2677,2713,2731,2749,2767,2803,2857,3001,3019,3037,3109,3163,3181,3217,3253,3271,3307,3343,3361,3433,3469,3541,3559
17,53,71,89,107,179,197,233,251,269,359,431,449,467,503,521,557,593,647,683,701,719,773,809,827,863,881,953,971,1061,1097,1151,1187,1223,1259,1277,1367,1439,1493,1511,1583,1601,1619,1637,1709,1871,1889,1907,1979,1997,2069,2087,2141,2213,2267,2339,2357,2393,2411,2447,2591,2609,2663,2699,2753,2789,2843,2861,2879,2897,2969,3023,3041,3167,3203,3221,3257,3329,3347,3491,3527,3581
19,37,73,109,127,163,181,199,271,307,379,397,433,487,523,541,577,613,631,739,757,811,829,883,919,937,991,1009,1063,1117,1153,1171,1279,1297,1423,1459,1531,1549,1567,1621,1657,1693,1747,1783,1801,1873,1999,2017,2053,2089,2143,2161,2179,2251,2269,2287,2341,2377,2467,2503,2521,2539,2557,2593,2647,2683,2719,2791,2917,2953,2971,3061,3079,3169,3187,3259,3313,3331,3457,3511,3529,3547,3583
11,29,47,83,101,137,173,191,227,263,281,317,353,389,443,461,479,569,587,641,659,677,821,839,857,911,929,947,983,1019,1091,1109,1163,1181,1217,1289,1307,1361,1433,1451,1487,1523,1559,1613,1667,1721,1811,1847,1901,1973,2027,2063,2081,2099,2153,2207,2243,2297,2333,2351,2423,2441,2459,2477,2531,2549,2621,2657,2693,2711,2729,2801,2819,2837,2909,2927,2963,2999,3089,3251,3323,3359,3413,3449,3467,3539,3557$N$ th simetría tiene $N+1$ estructuras únicas, que pueden encontrarse reflejadas si se encuentran en determinados órdenes. Podría intentar encontrar un método para generar los patrones (grupos de primos) para la tercera simetría; pero eso tendrá que esperar hasta que la segunda simetría esté hecha de forma más agradable, si es posible.
Intuyo que los primos en esta segunda simetría deberían tener una forma obvia basada en la divisibilidad, que me estoy perdiendo; dime si me equivoco.
