Me sorprendió el poder de la integración en las formas cuando aprendí que el teorema de Stokes se puede escribir de una forma muy bonita (no asumas que sé más que este hecho en sí): $$ \int_{\Omega}d\omega=\int_{\partial\Omega}\omega. $$ del que se derivan el teorema de Green, el teorema de la divergencia y el teorema fundamental del cálculo.
Aprendí la definición (tal vez no sea la más general) de la obra de Loring W. Tu Introducción a los colectores :
Dejemos que $\omega=f(x)dx^1\wedge \cdots\wedge dx^n$ ser un $C^{\infty}$ $n$ -en un subconjunto abierto $U\subset{\mathbb R}^n$ con coordenadas estándar $x^1,\cdots,x^n$ . Su integral sobre un subconjunto $A\subset U$ se define como la integral de Riemann de $f(x)$ : $$ \int_{A}\omega=\int_{A}f(x)dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n:=\int_{A}f(x)dx^1\cdots dx^n $$ si existe la integral de Riemann.
Según tengo entendido, ya que la "integración en los formularios" es definido por la integral de Riemann, no proporciona una nuevo tipo de integrales (por ejemplo, las integrales de Lebesgue en la teoría de la medida, las integrales de Itō en el análisis estocástico, etc.). En lugar de hacerlo, proporciona una nueva ver de la integral de Riemann, en la que por ejemplo $f(x)dx$ tiene su nuevo significado, $1$ -forma.
Estas son mis preguntas:
- ¿Es correcto lo que he entendido arriba? ¿O cuál es la diferencia fundamental entre estos dos tipos de integrales?
- ¿Puedo decir que este nuevo La integración proporciona una nueva forma de demostrar los teoremas de la teoría integral de Riemann?
- EDIT: ¿Es la definición anterior la única manera de definir la "integración en los formularios"?
Siento que mis preguntas pueden ser vagas. Cualquier sugerencia para mejorarla será realmente apreciada.
