Calcula la suma de las series: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{3}{n^{2}+n}-\frac{2}{4n^{2}+16n+15} \right )$

Question

Estoy atascado en una parte a la hora de evaluar la suma de dichas series... He aquí mi trabajo hasta ahora (y tampoco estoy seguro de que la notación y la simplificación sean correctas):

Simplificación mediante sumas parciales:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{3}{n^{2}+n}-\frac{2}{4n^{2}+16n+15} \right )=\sum_{n=1}^{\infty}\left ( 3\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )-\left ( \frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5} \right ) \right )$$

Ahora tomo el límite de la enésima suma parcial de la serie, ¿no?

$$\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N}\left ( 3\left ( \frac{1}{N}-\frac{1}{N+1} \right )-\left ( \frac{1}{2N+3}-\frac{1}{2N+5} \right ) \right )$$

$$=3\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N}\left ( \frac{1}{N}-\frac{1}{N+1} \right )-\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N}\left ( \frac{1}{2N+3}-\frac{1}{2N+5} \right ) $$

$$=3\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{N}-3\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{N+1} -\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2N+3}+\lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2N+5} $$

Supongo que estoy haciendo algo mal aquí, porque cada término diverge. Esto es lo que estaba escrito en el libro de texto:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right )=1-\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{N}=1$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left ( \frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5} \right )=\frac{1}{5}-\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{2N+3}=\frac{1}{5}$$

El problema es que... ¡no estoy seguro de cómo lo han conseguido! Les faltan muchos pasos para que yo lo entienda, de ahí el desorden de arriba.

Answer 1

Tenga en cuenta que ambas series $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}+n}and ~~\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{4n^{2}+16n+15}$$

converge entonces no hay riesgo de separar la suma.

Sin embargo utilizando la suma telescópica para la segunda suma de la siguiente manera dejamos $u_n=\frac{1}{2n+3}$ entonces $u_{n+1}=\frac{1}{2n+5}$ de ahí

$$ ~~~~\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{4n^{2}+16n+15} =\lim_{k\to\infty }\sum_{n=1}^{k}\left ( \frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5} \right )\\\color{red}{:=\lim_{k\to\infty }\sum_{n=1}^{k}\left ( u_n-u_{n+1} \right )=\lim_{k\to\infty }(u_1-u_{k+1})}\\=\frac{1}{5}-\lim_{k\rightarrow \infty}\frac{1}{2k+5}=\frac{1}{5}$$

mientras que la primera es obvia ya que $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}+n} = 3\lim_{k\to\infty }\sum_{n=1}^{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) =3\lim_{k\to\infty }(1-\frac{1}{k+1}) = 3~~$$

y

Answer 2

Pista:

La expresión dada puede escribirse como $$\sum_{n=1}^\infty \frac {3}{n(n+1)} - \frac {2}{(2n+3)(2n+5)}$$

En descomposición parcial se convierte en

$$\sum_{n=1}^\infty \left[3\left(\frac {1}{n}-\frac {1}{n+1}\right) - \left(\frac {1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right) \right]$$

Puedes ver la serie telescópica. Por cierto la respuesta supongo que podría ser $\frac {14}{3}$