Demostrar que todo conjunto cerrado tiene un punto en su límite

Question

Me han dicho que la afirmación "todo conjunto cerrado tiene un punto en su frontera" es falsa, pero no sé cómo refutarla. De hecho, creo que es cierta.

Supongamos que tenemos [a,b], un conjunto cerrado. Entonces, la frontera sería {a,b}, ambos elementos del conjunto. Por lo tanto, tenemos un conjunto cerrado que tiene punto(s) en su frontera.

Creo que una de las razones por las que me dijeron que la afirmación es falsa puede estar relacionada con el conjunto vacío, ya que

• El conjunto vacío también es cerrado (clopen, pero aún así)
• No tiene un punto en su límite
• El enunciado va "cualquier conjunto cerrado..", por lo tanto conjunto vacío no es excluido.

Suponiendo que la afirmación es falsa debido al razonamiento anterior (el hecho de que no se excluyera el conjunto vacío), ¿sería correcto "todo conjunto cerrado no vacío tiene un punto en su frontera"?

Gracias.

Answer 1

Sea $X$ sea un espacio topológico y $C\subseteq X$ un conjunto cerrado. Entonces $cl(A)=A$ (cierre de $A$ es igual a $A$ ). Nuestro conjunto $A$ tiene el límite vacío si

$$ \emptyset = \partial A = cl(A) \setminus int(A).$$

En $int(A) \subseteq clo(A)$ equivale a $int(A)=cl(A)$ . Esto significa que los conjuntos cerrados con frontera vacía son exactamente los conjuntos cerrados.

Así, si $X$ es conexo, entonces sólo hay dos conjuntos cerrados y con límites vacíos, a saber $\emptyset$ y $X$ .

Answer 2

Depende de si se habla de espacios topológicos generales o sólo de $\mathbb{R}$ . En $\mathbb{R}$ en efecto, hay muy pocos ejemplos: el conjunto vacío, como usted ha mencionado, y todos los $\mathbb{R}$ .

Sin embargo, en los espacios topológicos generales puede haber más ejemplos.

No es difícil ver que un conjunto es cerrado si y sólo si contiene su frontera, y es abierto si y sólo si su intersección con su frontera está vacía. Por lo tanto, un conjunto tiene un límite vacío si y sólo si es cerrado. Por tanto, en cualquier espacio conexo (como $\mathbb{R}$ ) los únicos conjuntos cerrados que satisfacen esto son el espacio entero y el conjunto vacío, pero en espacios desconectados tendrás más ejemplos.