Haces de líneas en Grassmanianos $Gr(m, n)$ et $Gr(n-m, n)$

Question

Sea $Gr=Gr(m, V)$ sea un grassmanniano de $m$ -subespacios vectoriales dimensionales en el $n$ -espacio vectorial dimensional $V$ . Existe una incrustación de Plücker $p_1: Gr \hookrightarrow \mathbb P(\Lambda^m V)$ asignación de un $m$ -subespacio vectorial dimensional $U \subset V$ al grano $p_1(U)=\mathbb P(\Lambda^m U)$ . Da una serie de haces de líneas $p_1^* \mathcal O(k)$ . Se puede demostrar que son los únicos haces de líneas en $Gr$ Así pues $Pic(Gr)=\mathbb Z$ .

Pero hay otra forma de ver $Gr$ como $Gr(n-m, V^*)$ sustituyendo $U \subset V$ por $\ker(V^* \to U^*) \subset V^*)$ . Da otra incrustación de Plücker $p_2: Gr \hookrightarrow \mathbb P(\Lambda^{n-m} V^*)$ y otra serie $p_2^* \mathcal O(l)$ de haces de líneas. Pero el grupo de Picard es el mismo.

Entonces, ¿qué $p_2^* \mathcal O(l)$ corresponde a $p_1^* \mathcal O(k)$ ?

Answer 1

$\ell = k$ .

Los dos espacios proyectivos son también isomorfos (dada una elección de forma de volumen en $V$ ) y el diagrama conmuta.