Ejemplos de teoremas que no ha sido probada sin CA, en la práctica, pero se puede probar sin que, en principio,

Question

Es posible demostrar teoremas de la forma "si $\phi$ es demostrable en ZFC, entonces $\phi$ es comprobable en ZF". Por ejemplo, supongamos $\phi$ ser una declaración de que es absoluta entre el$V$$L$. Si $\phi$ no fueron comprobable en ZF, entonces no sería un modelo de $M$ en que es falso, que a su vez implica que es falso, en $L^M$, por lo tanto no es demostrable en ZFC.

Me preguntaba si hay naturales tales declaraciones de todos los conocidos pruebas de que implican el axioma de elección (o cuyas pruebas convertido en mucho más fácil, cuando la CA se utiliza).

Siguientes Andrés Caicedo de la respuesta y los comentarios de aquí, es posible "engañar" y gire a la ZFC pruebas en ZF pruebas por llevar a cabo el argumento en L y, a continuación, utilizando la absolutidad. Lo que yo tenía en mente era para ver si hay ejemplos donde AC "cuida" de un procedimiento que, en teoría, podríamos prescindir de él.

Answer 1

Aquí es general, el teorema de que usted puede probar.$\newcommand{\Ord}{\mathsf{Ord}}$

Escribimos $(\exists^{\Ord}x)\varphi$ $(\forall^{\Ord}x)\varphi$ a decir que somos la delimitación de la cuantificador en $x$ como un conjunto de tuplas de números ordinales. Significado $x\subseteq\Ord^{<\omega}$, e $\varphi$ mantiene. (Se puede observar que esto no aumentar la complejidad de la fórmula de la tasa de jerarquía más que una costumbre cuantificador haría.)

Si $\varphi(x)$ es una afirmación que es hacia arriba absoluta, a continuación, $(\forall^\Ord x)\varphi(x)$ es comprobable con el axioma de elección si y sólo si es comprobable sin el axioma de elección. La prueba es casi trivial, dado $x\subseteq \Ord^{<\omega}$, podemos considerar $L[x]$ como un modelo de elección, $\varphi(x)$ mantiene ahí, y es hacia arriba absoluta, por lo que se mantiene en $V$. $\qquad\square$

Esto le da inmediatamente una gran cantidad de ejemplos en el sentido de finito para colorear teoremas y propiedades, por ejemplo, "cada colorear de un subconjunto de a $[\kappa]^{<\omega}$ $\lambda$ colores, tiene un subgrupo de orden y tipo de cardinalidad $\alpha$ que es homogéneo/anti-homogéneo" son todas las declaraciones de la forma $\Pi_2$ cuyos cuantificadores universal puede ser sustituido por $\forall^\Ord$.

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Usted también puede echar un vistazo en Herrlich del libro El Axioma de Elección , que incluye muchos ejemplos de menos de conjunto teórico de la naturaleza.

Answer 2

Si entiendo la pregunta, un ejemplo de un teorema que se vuelve mucho más fácil cuando el axioma de elección se utiliza es Hindman del teorema.

Este es un teorema de infinitary combinatoria:

Hindman del Teorema. Si $k \in \mathbb{N}$$g\colon \mathbb{N} \to \{1, \ldots, k\}$, hay un conjunto infinito $I \subseteq \mathbb{N}$ $c \leq k$ tal que para todo finito no vacío $F \subseteq I$, $g(\sum_{i \in F} i) = c$. En palabras, por cada finito para colorear de $\mathbb{N}$ hay un conjunto infinito $I$ y un color $c$ tal que la suma de cualquier número finito de elementos distintos de a $I$ recibe de color $c$.

Hay (esencialmente) tres conocidos métodos de prueba el teorema. Un método utiliza un tipo especial de ultrafilter en $\mathbb{N}$, que se construye mediante una aplicación del lema de Zorn. Hay una exposición de esta prueba por Leo Goldmakher aquí; la construcción es del teorema 3.1. Este método da la "más fácil" prueba del teorema.

El segundo método, debido a Furstenberg y Weiss, utiliza los métodos de la dinámica topológica y ergodic theory. Esta prueba también se utiliza de alta potencia de técnicas, aunque no utiliza directamente ultrafilters.

El tercer método se basa en Hindman original de la prueba, lo que es mucho más difícil, pero que utiliza mucho más elemental de los métodos. Hindman original de la prueba puede ser formalizado en el segundo orden de la aritmética (como se muestra por Blass, Hirst, y Simpson, 1987), por lo que no tiene ningún tipo de usos esenciales del axioma de elección. Simplificado de las exposiciones de este método son dadas por Baumgartner (1974) y Towsner (2011), en línea aquí.