Rotación a través de cualquier ángulo θ

Question

Dicen que la rotación de cualquier punto $(x,y)$ a través de cualquier ángulo $\theta$ viene dado por $(x \cos\theta, y \sin\theta)$ . ¿Alguien puede decir cómo se obtuvo esto? Por favor, publíquelo aquí o envíeme un correo electrónico.

Answer 1

Dado que las rotaciones de $\Bbb R^2$ son $\Bbb R$ transformaciones lineales, pueden describirse mediante $2\times 2$ matrices sobre $\Bbb R$ . Además, la acción de la transformación está completamente determinada por lo que hace a los vectores unitarios $[1,0]$ y $[0,1]$ .

A continuación, puede tomar $\theta\in [0,\pi/2]$ como ilustración, aunque es válido para cualquier $\theta$ .

Tomando el segmento de recta entre $[0,0]$ y $[1,0]$ y girándolo por $\theta$ radianes se obtiene un segmento de recta inclinado. Suelta una perpendicular a la $x$ -y se tiene un triángulo rectángulo cuyo ángulo en el origen es $\theta$ . Es evidente que las coordenadas que $[1,0]$ se giró a es $[\cos(\theta),\sin(\theta)]$ .

Del mismo modo, mira dónde está el segmento de línea entre $[0,0]$ y $[0,1]$ va. Será una línea inclinada en el tercer cuadrante (para nuestro "pequeño" theta), y hace un ángulo de $\theta$ con el $y$ eje. Dejando caer una perpendicular hacia el $y$ -y realizando un poco de trigonometría se obtiene que las coordenadas de $[0,1]$ debe ser $[-\sin(\theta),\cos(\theta)]$ .

Entonces: ¿cuál sería la matriz de transformación $A$ ¿Cómo debe ser?

Bueno, sabemos que $[1,0]A=[\cos(\theta),\sin(\theta)]$ y que $[0,1]A=[-\sin(\theta),\cos(\theta)]$ así que eso nos dice cuáles son las filas de $A$ son:

$$ A=\begin{bmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\ -\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix} $$

Por último, entonces sabemos que esta fórmula se aplica a cualquier cosa en el intervalo de $[1,0]$ y $[0,1]$ no sólo esos dos vectores. Girando $[x,y]$ se consigue mediante la multiplicación de matrices:

$$ [x,y]A=[x,y]\begin{bmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\ -\sin(\theta)&\cos(\theta)\end{bmatrix}=[x\cos(\theta)-y\sin(\theta),x\sin(\theta)+y\cos(\theta)] $$

Answer 2

Llegué a la fórmula final $[x\cdot\cos(\theta)y\cdot\sin(\theta),x\cdot\sin(\theta)+y\cdot\cos(\theta)]$ utilizando el círculo unitario, multiplicado por algún radio $r$ . Cualquier punto del círculo es $(r\cdot\cos\theta, r\cdot\sin\theta)$ . Si se sigue girando con cualquier otro ángulo A, las nuevas coordenadas son $(r\cdot\cos(\theta+A), r\cdot\sin(\theta+A))$ .

Utilizando las fórmulas para $\sin(u+v)$ y $\cos(u+v)$ puedes ampliar esas expresiones. Sustituir $x$ para $r\cdot\cos \theta$ y $y$ para $r\cdot\sin \theta$ y obtendrá lo mismo (en términos de $A$ el ángulo de rotación).