Decidir si $f$ es Lebesgue integrable

Question

Antecedentes: Estoy aprendiendo la teoría de integración de Lebesgue. Hemos establecido la medida exterior, luego hemos definido la medida de Lebesgue utilizando el criterio de Carthedory, luego hemos mostrado operaciones bajo las cuales el conjunto de conjuntos medibles de Lebesgue es estable (por ejemplo, complementos y unión contable). Hemos definido las funciones medibles y ahora establecemos la integral de Lebesgue utilizando funciones simples. Acabamos de demostrar la MCT.

Pregunta: Tengo problemas para decidir cuándo una función $f$ es integrable por Lebesgue en un intervalo. La definición de $f$ siendo integrable seguimos es que (i) $f$ es medible y (ii) $\int f^+, \int f^- <\infty$ donde $f^+:=\max(f,0)$ y $f^-:=\max(-f,0)$ .

¿Cómo puedo saber si esta función es integrable? Sea $f$ definirse en $\mathbb{R}$ como $x$ si $x$ es racional, y $0$ si $x$ es irracional.

Hasta ahora, he reescrito $f$ como $f(x)=x\chi_{\mathbb{Q}}(x)$ . Entonces $f$ es medible ya que $g(x)=x$ es medible y $\mathbb{Q}$ es un conjunto medible, por lo que su función característica es medible, y entonces observe que $f$ es un producto de funciones medibles, por lo tanto medible.

No estoy seguro de cómo mostrar $\int f^+, \int f^- <\infty$ porque no sé cómo integrar sobre $\mathbb{Q}$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Sea $S\subseteq[0,\infty)$ tal que $s\in S$ si una función simple no negativa $g(x)=\sum_{k=1}^nc_k1_{A_k}(x)$ que satisfaga $g(x)\leq|x|1_{\mathbb Q}(x)$ y $s=\sum_{k=1}^nc_k\lambda(A_k)$ .

Aquí el $A_k$ pueden tomarse como conjuntos medibles disjuntos.

Entonces, por definición: $$\int|x|1_{\mathbb Q}(x)\lambda(dx)=\sup S$$

Ahora observa que bajo las condiciones mencionadas tenemos: $$c_k>0\implies A_k\subseteq\mathbb Q\implies\lambda(A_k)=0$$

Esto nos dice que $S=\{0\}$ y en consecuencia: $$\int|x|1_{\mathbb Q}(x)\lambda(dx)=0$$

Esto no sólo sirve para la función $x\mapsto|x|$ pero para toda función medible no negativa, y el planteamiento se basa puramente en la definición.

En general, si $\lambda(A)=0$ y $h$ es una función medible no negativa: $$\int h1_Ad\lambda=0$$

Answer 2

Para cualquier función medible $f$ y conjunto medible $A$ tenemos $$\int_A f(x)\lambda(dx)\leq \lambda(A)\cdot\sup_{x\in A}f(x)$$ Tenga en cuenta que $$\int x\cdot\chi_\mathbb Q(x)\lambda(dx)=\int_\mathbb Qx\lambda(dx)$$ En primer lugar, calcule para $K>0 $ la integral $$\int_{[-K,K]}x\cdot\chi_\mathbb Q(x)\lambda(dx)$$ y piensa en lo que ocurre cuando $K\to\infty$ .

Answer 3

Demostremos que $\int f^+ \, d\lambda < \infty$ .

Cualquier función medible no negativa $f \colon X \to \mathbb R^+$ es el límite puntual de una sucesión monótona creciente de funciones simples no negativas $(f_n)$ . En particular, definamos

\begin{align*} I_{n,k} &= \left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right) \text{ for } k=1,2,\ldots,2^{2n}\\ I_{n,2^{2n}+1} &= [2^n,\infty)\\ A_{n,k} &= f^{-1}(I_{n,k}) \text{ for } k=1,2,\ldots,2^{2n}+1\\ f_n &= \sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf 1}_{A_{n,k}} \end{align*}

Desde $f_n \uparrow f^+$ por convergencia monótona, $\int f_n \, d\lambda \uparrow \int f^+ \, d\lambda$ . Además,

\begin{align*} \int f_n \, d\lambda = \sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n} \, \lambda(A_{n,k}) \end{align*}

Desde $A_{n, k} = \mathbb Q \cap I_{n, k}$ deducimos que $\lambda(A_{n, k}) = 0$ de donde $\int f_n \, d\lambda = 0$ . Esto implica, por último, que

\begin{align*} \int f^+ \, d\lambda = 0 \end{align*}