Puede usted construir un campo con 6 elementos?

Question

Posibles Duplicados:
No hay nada como GF(6)?

Podría alguien decirme si se puede construir un campo con 6 elementos.

Answer 1

$\def\x{\otimes}$No la hay. Supongamos $\langle F, +, \x\rangle$ es un campo donde la $F$ tiene seis elementos. A continuación, $\langle F, +\rangle$ es un grupo abelian; debe ser $Z_6$, que es el único grupo abelian con seis elementos. Así que tome $F=\{0,1,2,3,4,5\}$ $+$ adición módulo 6. Por Lagrange del teorema, cada elemento de la $\langle F, +\rangle$ tiene un orden que divide a 6, por lo que cualquier elemento de a $f$ de este grupo tiene la propiedad de que $f+f+f+f+f+f = 0$.

Ahora consideramos la multiplicación. No sabemos aún lo $1\x1$ es-es posible que no ser $1$-así que vamos a llamarlo $i$, y considerar la posibilidad de $2\x 3$: $$\begin{eqnarray} 2\x 3 & = & (1+1)\x(1+1+1) \\ & = & 1\x 1 +1\x 1 +1\x 1 +1\x 1 +1\x 1 +1\x 1 \\ & = & i+i+i+i+i+i\\ & = & 0 \end{eqnarray}$$

Pero esto no puede suceder en un campo: $ab=0$ implica $a=0$ o $b=0$, y que falla aquí. Así que no hay forma de definir a $\x$ hacer $\langle F, +, \x\rangle$ en un campo.

Answer 2

No la hay. El artículo de la Wikipedia sobre campos finitos dice:

El orden, o el número de elementos de un campo finito es de la forma $p^n$ donde $p$ es un número primo llamado la característica del campo, y $n$ es un entero positivo.

Answer 3

Un campo finito $F$ tiene un número finito de característica $p$ ($p \cdot 1=0$) que debe de ser un prime desde $F$ es un campo. Por lo $F$ es un espacio vectorial de algunos de dimensión finita, decir $n$$Z/pZ$; por lo tanto $F$ $p^n$ elementos.

Answer 4

No, no puedo y tampoco puede. He aquí la razón:

Supongamos que tenemos un campo de $\mathbb{F}$ con un número finito de elementos. Tome $1 \in \mathbb{F}$ y seguir añadiendo a sí mismo, dándole $2 = 1 + 1$, $3 = 1 + 1 + 1$, etc. Debido a $\mathbb{F}$ es finito, debe ser un número positivo menor, voy a llamar a $p$, de tal manera que $p \cdot 1 := 1 + 1 + \cdots + 1 \text{ ($p$ terms)} = 0$. (Ejercicio: Probar esto.) De hecho, $p$ debe ser un primo. (Ejercicio: Probar esto.)

Los elementos $\{0, 1, 2, \dots, p - 1\}$ son todos distintos y forma un subcampo de la $\mathbb{F}$ isomorfo a $\mathbb{F}_p := \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$. Por abuso de notación, voy a llamar a este subcampo, simplemente,$\mathbb{F}_p$. A continuación, $\mathbb{F}$ es un finito dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_p$. (Ejercicio: Probar esto.) Si $n$ es la dimensión de este espacio vectorial, entonces $\mathbb{F}$ $p^n$ elementos. (Ejercicio: Probar esto.)

Conclusión: El número de elementos en cada campo finito es una potencia de un número primo. En particular, no hay ningún campo finito con seis elementos.