Límite de la norma de Frobenius

Question

¿Existe alguna forma de acotar la norma de Frobenius de un producto de matrices cuadradas $A,B$ y un vector $x$ de la siguiente manera:

$$ \|ABx\| \|Ax\|\text{ and }\|B\|. $$

Answer 1

La respuesta es no. Configure $$ A = \begin{pmatrix} 0 & c \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ donde $c > 0$ y que $x = (1,0)^T$ entonces $Ax$ es el vector cero, pero $\|ABx\| = c$ puede ser arbitrariamente grande.

Answer 2

Si $A$ es invertible, entonces $$\|ABx\|=\|ABA^{-1}Ax\|\leq\|ABA^{-1}\|\|Ax\|=\kappa(A)\|B\|\|Ax\|,$$ donde $\kappa(A)=\|A\|\|A^{-1}\|$ es el número de condición de $A$ . Así que sí, $\|ABx\|$ puede estar limitada por "algo" que implique $\|Ax\|$ y $\|B\|$ si $A^{-1}$ existe.