Suma de $1^2 + 2^2 + ... +n^2$

Question

Intento demostrarlo: $1^2 + 2^2 + 3^2 + ...+ n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Definiendo la parte superior izquierda de la ecuación como $a_n$ Lo entiendo:

$a_n - a_{n-1} = n^2$

Entonces, a partir de la eguación homogénea:

$a_n = C$

pero mientras predice la parte no homogénea como:

$a_n = xn^2 + yn + z$

y poniendo en $a_n - a_{n-1} = n^2$ Lo entiendo:

$2xn + y - 1 = n^2$

pero no está ni cerca de darme una respuesta correcta. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

No estoy familiarizado con su terminología de partes homogéneas y no homogéneas, por lo que no puedo responder exactamente lo que está mal con su enfoque, excepto para decir que cuando su secuencia se ve como $\sum p(k)$ para un polinomio $p$ de grado $d$ entonces es de esperar que la secuencia venga dada por un polinomio de grado $d+1$ .

La razón es probablemente más fácil de apreciar cuando $d$ es pequeño. Supongamos, por ejemplo $a_n=\sum_{k=1}^n1$ . Obviamente $a_n$ es sólo $n$ que es un polinomio de grado $1$ . Cada sumando adicional tiene grado $0$ (es la constante $1$ ), pero como estamos tomando la suma acumulativa de todos los sumandos, el resultado acaba siendo algo que crece más rápido y tiene grado $1$ . Del mismo modo, si $a_n=\sum_{k=1}^nk$ entonces $a_n=n(n+1)/2$ viene dado por un polinomio cuadrático. Esto se debe a que cada sumando sucesivo es lineal, lo que hace que la tasa de crecimiento de $a_n$ más rápido que eso y, en particular, se convierte en un cuadrático.

En su caso $$a_n=\sum_{k=1}^nk^2,$$ debería esperar un cúbico como la expresión de forma cerrada resultante para $a_n$ . Así que $a_n=c_0+c_1n+c_2n^2+c_3n^3$ y a partir de ahí.