Una desigualdad integral.

Question

Quiero saber si es posible demostrar que $$ \int_{0}^{T}\Bigr(a(t )\Bigr)^{\frac{p+1}{2p}}dt\leq C\Bigr(\int_{0}^{T}a(t)dt\Bigr)^{\frac{p+1}{2p}} $$ para algunos $C>0$ donde $a(t)>0$ e integrable en $(0,T)$ y $p\in(\frac{1}{2},1)$ . Cabe señalar que este intervalo para $p$ produce $\frac{p+1}{2p}>1$ . En el caso $p>1$ tenemos $\frac{p+1}{2p}<1$ y se puede aplicar la desigualdad de Holder para obtener el resultado inmediatamente. Pero en el primer caso desconozco la validez de la desigualdad.

Answer 1

Si $f$ es una función entera de tipo exponencial $< \pi$ puede que tengas suerte. En efecto, por el Teorema 10.6.4 de Boas "Funciones enteras" (para la primera desigualdad) $$ \int_{\mathbb{R}} |f(x)|^m dx \leq C \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} |f(\ell)|^{m} \leq C \bigg ( \sum_{\ell \in \mathbb{Z}} |f(\ell)| \bigg )^{m} \leq C' \bigg ( \int_{\mathbb{R}} |f(x)| dx \bigg )^{m} $$ La segunda desigualdad es trivial, y la última desigualdad se sigue esencialmente por subarmonicidad o desigualdad de Bernstein, pero también se podría apelar a Boas, Teorema 6.7.15. Por último, nótese que la restricción para $f$ sea de tipo exponencial $< \pi$ puede sustituirse por ``tipo exponencial finito'', porque si $f(z)$ es de tipo exponencial $B$ entonces $f(z/B)$ es de tipo exponencial $1 < \pi$ y se puede repetir el argumento anterior para la dilatación $f(z/B)$ .

Por último, verás que he integrado toda la línea. Puede obtener la restricción a $[0,T]$ multiplicando $f$ contra todo un alisado, por ejemplo se podría multiplicar por un kernel de Fejer dilatado $(\sin (x/T)/ (x/T))^2$ . Por supuesto, es posible obtener cortes mucho más nítidos (por un lado, se puede tomar una potencia mayor que $2$ en el núcleo Fejer, pero se podría hacer algo mejor si fuera necesario).

Answer 2

Sea $a(t) = \displaystyle t^{-\frac{2p}{p+1}}$ . Desde $0 < \dfrac{2p}{p+1} < 1$ , $a(t)$ es integrable en $(0,T)$ mais $a(t)^{\frac{p+1}{2p}} = t^{-1}$ no lo es.