Cálculo integral - Funciones de error

Question

Considera la siguiente integral:

$$ I(t) = \int_{0}^{t} e^{\alpha(\tau+\beta)^2} \ d\tau. $$

Quiero calcular esta integral analíticamente, lo que creo que puede hacerse mediante el uso de funciones de error.

La función de error se define como

$$ \textrm{erf}(z) := \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{-t^2} \ dt. $$

Cambio de variables $z \mapsto iz$ da

$$ \textrm{erf}(iz) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{iz} e^{-t^2} \ dt = \frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{y^2} \ dy, $$ donde en la última igualdad, utilicé el cambio de variables $t = iy$ . A continuación $y = ax$ para algunos $a\in\mathbb{R}$ . Esta transformación da

$$ \textrm{erf}(iz) = \frac{2ai}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z/a} e^{a^2x^2}\ dx. $$

A continuación, cambie las variables $z \mapsto az$ que da

$$ \textrm{erf}(iaz) = \frac{2ai}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{z} e^{a^2x^2} \ dx. $$

Esto está muy cerca de $I(t)$ que es el objetivo integral para calcular, sin embargo estoy atascado en la forma de tratar con el "sesgo" extra $\beta$ . Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Fíjate: $$I(t) = \int_{0}^{t} e^{\alpha(\tau+\beta)^2} \ d\tau = \int_{\beta}^{t+\beta} e^{\alpha u^2} \ du = \int_{0}^{t+\beta} e^{\alpha u^2} \ du - \int_{0}^{\beta} e^{\alpha v^2} \ dv$$