División de números complejos (y algebraicos) ("racionalizando" el denominador)

Question

Ahlfors dice que una vez que la existencia del cociente $\frac{a}{b}$ su valor se puede hallar calculando $\frac{a}{b} \cdot \frac{\bar b}{\bar b}$ . ¿Por qué esta manipulación no demuestra la existencia del cociente?

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\bar b}{\bar b} = a\bar b \cdot b^{-1} \cdot\bar b^{-1} = a\bar b \cdot (b\bar b)^{-1}$ el último término existe claramente ya que lo que se invierte es real.

Answer 1

Hay un pequeño inconveniente lógico. Si no sabes que $\frac{a}{b}$ existe, entonces no puedes empezar a manipularla algebraicamente como has hecho hasta llegar a tu última expresión, porque no sabes que no llegarás a un sinsentido.

Lógicamente, esto se reduce al hecho de que $$ X \ \hbox{ implies } Y $$ es una afirmación verdadera si tanto X como Y son falsas. Aquí se parte de una afirmación X: " $\frac{a}{b}$ existe" y concluyendo que Y: " $\frac{a}{b} = a \bar{b} . (b\bar{b})^{-1}$

Así que todavía queda el trabajo de mostrar $\frac{a}{b}$ existe.

Answer 2

Idea clave multiplicar por un conjugado nos permite racionalizar (aquí $\color{#c00}{\textit{real-ize}}$ ) denominadores, levantando "existencia de inversos de $\,r\ne 0\,$ " de $\mathbb R$ a $\mathbb C,\,$ es decir, desde $\mathbb R$ es un campo, $\rm\ 0\ne r\in \mathbb R\, \Rightarrow\, r^{-1}\in \mathbb R,\,$ así que

$$\rm 0\ne\alpha\in\mathbb C\ \ \Rightarrow\ \ 0\ne{\alpha\bar\alpha} = r\in \mathbb R\ \ \Rightarrow \underbrace{\frac{1}\alpha\, =\, \frac{1\ \bar \alpha}{\alpha\,\bar\alpha}\, =\, \frac{\bar\alpha}r\in\mathbb C}_{\textstyle{\color{#c00}{\textit{real-ize}}\ the\ denominator}}\qquad$$

Así $ $ campo $\mathbb R\, \Rightarrow\, $ campo $\mathbb C\ $ utilizando la norma $\rm\,\alpha\to\alpha\!\ \bar\alpha\,$ para levantar la existencia de inversos de $\mathbb R$ a $\mathbb C.$

Más explícitamente, en un campo de extensión cuadrático $F(\sqrt d)$ que se obtiene uniendo $\sqrt d$ a $F$ tenemos

$$\dfrac{1}{\alpha}\,=\,\dfrac{1}{a+b\sqrt d} \,=\, \dfrac{1}{a+b\sqrt d}\ \dfrac{a-b\sqrt{d}}{a-b\sqrt d} \,=\, \dfrac{a-b\sqrt{d}}{a^2-db^2}\,=\,\dfrac{\bar \alpha}r\qquad$$

En general podemos construir "racional" $(\rm \in Z)$ múltiplos $\ne 0$ de elementos algebraicos $\,\alpha\ne 0\,$ (de un dominio $\rm D$ algebraico sobre un subring $\rm Z)$ mediante el término constante de un polinomio mínimo de $\alpha$ en $\rm Z$ (frente al uso anterior de norma = producto de conjugados). En concreto, puesto que $\rm\,0\ne\alpha\in D\,$ es algebraico sobre $\rm Z,\,$ es una raíz de un polinomio $\rm\,0\ne f(x)\in Z[x].\,$ W.l.o.g. $\rm\,f(0)\ne 0\,$ por $\rm\,f(\alpha)\ \alpha^n = 0\ \Rightarrow\ f(\alpha) = 0,\,$ ya que los elementos no nulos son cancelables en un dominio. Por lo tanto $\rm\,f(x) = x\ g(x)-n\,$ para $\rm\ 0 \ne n\in Z.\,$ Así que $\rm\ f(\alpha) = 0\ \Rightarrow\ \alpha\ g(\alpha) = n\in Z.\,$ Así que $\rm\,n\,$ es nuestro "racional" $\rm(\in Z)$ varios $\ne 0\,$ de $\rm\,\alpha.\,$ Como en el caso anterior, esto nos permite "racionalizar" un denominador $\rm\,\alpha\in D\,$ multiplicando por $\,\rm \bar\alpha := g(\alpha),\, $ a saber

$$\rm 0\ne\alpha\in D\ \ \Rightarrow\ \ 0\ne\alpha\alpha' = n\in Z\ \ \Rightarrow\ \ \frac{1}\alpha\ =\ \frac{1\ \bar\alpha}{\alpha\,\bar\alpha}\ = \frac{\bar\alpha}n\in D\qquad $$

Se trata de un instancia prototípica de la método de los múltiplos más sencillos .

Para calcular dicho polinomio $\rm f(x)$ teniendo $\alpha$ como raíz generalmente podemos utilizar el "truco del determinante" es decir, como en Cayley-Hamilton, calculamos el polinomio característico del mapa lineal $\rm \,x\mapsto \alpha x\,$ (pero existen algoritmos más eficaces en diversos contextos).

En particular, si el dominio $\rm D$ es una extensión algebraica de a campo $\rm F$ , entonces $\rm D$ es un campo, ya que, como se ha demostrado, cada elemento $\ne 0\,$ de $\rm D$ divide un elemento $\ne 0\,$ de $\rm F$ . Pero los elementos $\ne 0\,$ del campo $\rm F$ son unidades (que siguen siendo unidades en $\rm D)$ et los divisores de unidades son unidades. El tuyo es el especial $\rm\ D = \mathbb C,\ \ F = \mathbb R.$

La generalización de lo anterior de dominios a anillos permite concluir que las extensiones integrales (o primitivas) no pueden aumentar la dimensión de Krull (= longitud máxima de las cadenas de ideales primos), ver aquí. Recordemos que una extensión primitiva es una extensión de anillo $\rm R \subset E$ donde cada elemento de E es primitivo sobre R, es decir, cada elemento de E es una raíz de un polinomio $\rm\,f(x)\in R[x]\,$ que es primitivo, es decir, contenido( $\rm f$ ) = $1,\,$ es decir, el ideal en R generado por los coeficientes de $\rm\,f\,$ es $\rm (1) = R.\,$ Se demuestra fácilmente que un elemento es primitivo sobre R si es raíz de un polinomio $\rm\,f\in R[x]\,$ tienen algún coeficiente siendo $1$ (o una unidad). Así pues, las extensiones primitivas son generalizaciones de las extensiones integrales. Al igual que los elementos integrales, los elementos primitivos satisfacen la propiedad crucial de que siguen siendo primitivos módulo a un primo P, ya que son raíces de un polinomio f con algún coeficiente $= 1,\, $ por lo que f no puede desaparecer mod P. Debido a esto, la prueba antes mencionada sobre la dimensión de Krull sigue funcionando para las extensiones primitivas. Desempeñan un papel clave en varias caracterizaciones de extensiones integrales, p. ej., véanse los trabajos de David E. Dobbs, p. ej., véase aquí .