Límite inverso de espacios métricos compactos

Question

¿Es necesario que un límite inverso de espacios métricos compactos sea metrizable? Cuando es un límite inverso de un sistema inverso contable sé que es metrizable (incluso sin compacidad). Pero, ¿y si el sistema no es contable?

Answer 1

Para cada ordinal $\alpha<\omega_1$ deje $X_\alpha=\alpha+1$ con la topología de orden; cada $X_\alpha$ es entonces compacta y metrizable. Si $\alpha\le\beta<\omega_1$ deje

$$\pi^\beta_\alpha:X_\beta\to X_\alpha:\xi\mapsto\begin{cases} \xi,&\text{if }\xi\le\alpha\\ \alpha,&\text{if }\alpha<\xi\le\beta\;. \end{cases}$$

Sea $X=\varprojlim X_\alpha$ . Supongamos que $x=\langle x_\alpha:\alpha<\omega_1\rangle\in X$ . Si $x_\alpha<\alpha<\beta<\omega_1$ , $\pi^\beta_\alpha(x_\beta)=x_\alpha<\alpha$ Así que $x_\beta=x_\alpha$ . Así, si $\eta(x)=\min\{\alpha<\omega_1:x_\alpha<\alpha\}$ entonces $x_\alpha=x_{\eta(x)}$ para $\eta(x)\le\alpha<\omega_1$ . Tenga en cuenta que $x$ es no decreciente, $\eta(x)$ debe ser un ordinal sucesor; sea $\gamma(x)\in\omega_1$ sea tal que $\eta(x)=\gamma(x)+1$ . Así, $x_{\gamma(x)}=\gamma(x)$ et $\gamma(x)\le x_{\eta(x)}=x_{\gamma(x)+1}<\gamma(x)+1$ Así que $x_{\eta(x)}=\gamma(x)$ . Si $x_\alpha=\alpha$ para todos $\alpha<\omega_1$ deje $\gamma(x)=\omega_1$ .

Defina

$$h:X\to\omega_1+1:x\mapsto\gamma(x)\;;$$

no es difícil comprobarlo $h$ es un homeomorfismo y, por tanto, que $X$ no es metrizable.

Alternativamente, y con aún menos esfuerzo, basta con observar que $X$ no es contable por primera vez en el punto $\langle\alpha:\alpha<\omega_1\rangle$ .

Answer 2

La respuesta de Brian Scott y el comentario de egreg dan contraejemplos, pero aquí hay uno aún más sencillo. El producto de incontablemente muchas copias de un $2$ -no es metrizable (ni siquiera contable en primer lugar). Pero es el límite inverso de un sistema inverso de productos finitos, cada uno de los cuales es un espacio discreto finito y, por tanto, metrizable.