Cómo minimizar $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$ bajo la restricción $xyz=s$ ?

Question

Sea $s \in (0,1)$ sea un parámetro.

¿Podemos encontrar un expresión de forma cerrada para $$ F(s)=\min_{xyz=s,x,y,z>0}(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2, \tag{1} $$

y fórmulas exactas los minimizadores $x(s) \le y(s) \le z(s)$ ?

Intenté usar Mathematica pero fracasé (Sin embargo no soy muy hábil).

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Utilizando los multiplicadores de Lagrange, se obtiene $$ (x-1,y-1,z-1)=\lambda (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}), $$ así que $x,y,z$ deben satisfacer la ecuación cuadrática $t(1-t)=-\lambda$ . Si $t$ es una solución, entonces también lo es $1-t$ por tanto, si denotamos la solución de esta ecuación por $a$ entonces $$ \{x,y,z\} \subseteq \{a,1-a \}. $$ Una posible solución es la solución simétrica $x=y=z=\sqrt[3] s$ . Si $x,y,z$ no coinciden todos, entonces deben tomar ambos valores $a$ y $1-a$ .

Como necesitábamos $x,y,z>0$ esto significa que $a,1-a$ debe ser positivo, por lo que $0<a<1$ .

Tras un posible cambio de nombre, podemos suponer que $x=a, y=z=1-a$ por lo que el valor $1-a$ se alcanza dos veces.

Entonces, si definimos, $$ G(s)=\min_{a \in (0,1),a(1-a)^{2}=s} (1-a)^2+2a^2, \tag{2} $$ entonces $$ F(s)=\min \{3(1-\sqrt[3]s)^2,G(s)\}. $$

Desde $\max_{a \in (0,1)}a(1-a)^{2}=4/27$ se deduce que la solución no simétrica sólo es posible si $s \le 4/27$ .

El término $3(1-\sqrt[3]s)^2$ resulta de la comparación con la solución simétrica $x=y=s$ .

No estoy seguro de cómo continuar, ya que analizar explícitamente las soluciones de la ecuación quíntica es no tan agradable .

Motivación:

Este problema es un caso especial del problema de encontrar la matriz más próxima a $\text{SO}_n$ con un determinante dado.

Answer 1

Las soluciones reales de $$x(1-x)^2=s$$ no están nada mal.

Tenemos $$\Delta=(4-27 s) s$$ que es positivo en una pequeña región $(0 < s < \frac 4{27})$ .

$$s<0 \quad \implies \quad x=-\frac{4}{3} \sinh ^2\left(\frac{1}{6} \cosh ^{-1}\left(1-\frac{27 s}{2}\right)\right)$$

$$s> \frac 4{27} \quad \implies \quad x=\frac{4}{3} \cosh ^2\left(\frac{1}{6} \cosh ^{-1}\left(\frac{27 s}{2}-1\right)\right)$$

En caso contrario

$$x_k=\frac{4}{3} \cos ^2\left(\frac{1}{6} \left(2 \pi k-\cos ^{-1}\left(\frac{27 s}{2}-1\right)\right)\right) \qquad k=0,1,2$$

El último caso $$s=\frac 4{27}\quad \implies \quad x_1=x_2=\frac 13\qquad x_3=\frac 43$$

Answer 2

Tienes que resolver $$\nabla ((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2)=\lambda \nabla (xyz-s)$$ $$[2(x-1),2(y-1),2(z-1)]=[\lambda yz,\lambda xz, \lambda xy]$$ Equiparación $\lambda /2$ para los términos primero y segundo, tenemos $$\frac {x-1}{yz}=\frac {y-z}{xz}$$ Obsérvese que la restricción $xyz=s $ garantiza que $x,y,z$ son todos distintos de cero. Un poco de álgebra da $$x^2-y^2=x-y$$ así que $x=y$ o $x+y=1.$ Del mismo modo, comparando el primer y el tercer término o el segundo y el tercero en la ecuación del gradiente, obtenemos $x=z $ o $x+z=1$ y $y=z$ o $y+z=1$ Si $x=y=z$ tenemos $x=y=z=s^{1/3}.$ Si $x+y=1,x+z=1,y+z=1$ tenemos $x=y=z=1/2$ lo cual es una contradicción a menos que $s=1/8$ si $s=1/8$ tenemos el punto anterior.Si $x=y, x+z=1$ que da $x^2z=s,x+s/x^2=1,x^3-x^2+s=0$ que es una ecuación cúbica que podemos resolver por los métodos de Cardano y sus contemporáneos.Obtenemos ecuaciones cúbicas similares para los casos $y=z,y+x=1$ y $z=x,z+y=1$ . En cada punto $x,y,z$ calculamos $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2$ y tomar el mínimo de estos valores.