Me gustaría saber cómo, desde lo más básico, puedo enseñar a alguien la afirmación del título anterior. Aquí está mi plan.
$\textbf{Primero}$ declararé WOP: Cada conjunto no vacío de enteros positivos contiene un elemento mínimo.
$\textbf{Segundo}$ declararé PMI:
$(1)$ $0\in T$.
$(2)$ $n\in T\implies n+1\in T$
Mostramos que $T=\Bbb N$.
Supongamos que quiero demostrar la afirmación $\textbf{Primera}$ utilizando la $\textbf{segunda}$
Entonces tomo $T$ como un subconjunto no vacío de números naturales, suficiente para mostrar que tiene un elemento mínimo. (¿es correcto?)
$\textbf{prueba}:$ Supongamos por contradicción que $T$ no tiene un elemento mínimo, sea $$W=\{x:x\notin T\}$$ como $0$ es una cota inferior del número natural, entonces $0\in W$, ahora aquí puedo decir así: sea $0,1,\dots,n\in W\Rightarrow n+1\in W$. Entonces $n+1$ no puede estar en $T$ ya que sería una cota inferior de $T$ y como $0,1,\dots,n\notin T$, entonces $n+1\notin T$ por inducción $W=\mathbb{N}$, entonces $T=\phi$
$\textbf{Ahora}$ Supongamos que todo subconjunto no vacío de $\Bbb N$ tiene un elemento mínimo. Sea $T$ un subconjunto de $\Bbb N$ con las siguientes propiedades
$(1)$ $0\in T$.
$(2)$ $n\in T\implies n+1\in T$
Mostramos que $T=\Bbb N$.
Sea $T$ como se indicó anteriormente. Consideremos el conjunto de $\Bbb N\setminus T$, y supongamos por contradicción que no está vacío. Por el WOP, tiene un elemento mínimo, llámelo $x$.
No puedo seguir adelante, gracias por la ayuda y la discusión.
