Demostrando que $|y^{1/k - 1}| = y^{1/k - 1}$ para $y \in \mathbb{R}$ y $k \in \mathbb{N}$ impar

Question

En mi hoja de ejercicios estocásticos encontré la expresión $$|y^{1/k - 1}|$$ donde $y \in \mathbb{R}$ y $k \in \mathbb{N}$ impar. Desde $k$ impar, tenemos $k = 2n + 1$ para algunos $n \in \mathbb{N}$ . Entonces obtenemos $$\frac{1}{2n + 1} - 1 = \frac{2n}{2n + 1}$$ Por lo tanto el numerador es un número par y por lo tanto sugiero que $$|y^{1/k - 1}| = y^{1/k - 1}$$ Sin embargo, nunca me he encontrado con la definición formal de una potencia de base negativa, por lo que no sé cómo hacerlo correctamente. ¿Es correcto mi resultado? ¿Cómo lo formalizo?

Answer 1

Comenté la necesidad general de contexto en la definición de los exponentes. Eso puede ser excesivamente cuidadoso en este caso, siempre y cuando su contexto es uno en el que sólo está interesado en salidas reales. En ese caso, porque $k$ es impar, $y^{1/k-1}$ siempre tiene exactamente $1$ definición sensata como número real cuando $y$ es real y distinto de cero, y con esa definición es efectivamente positivo. $$y^{1/k-1}=y^{(1-k)/k}=\sqrt[k]{y^{1-k}},$$ donde $\sqrt[k]{x}$ se define como el real positivo $k$ raíz del número positivo $x$ y esto se aplica porque el número entero $1-k$ es incluso así $y^{1-k}$ (definida sin ambigüedades) es positiva.

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(Si $k$ fuera negativo sería $\sqrt[-k]{y^{k-1}}$ . Alternativamente $\dfrac{\sqrt[k]{y}}{y}$ cuando $k>0$ , $\dfrac{1}{y\sqrt[-k]{y}}$ cuando $k<0$ . Existen $|k|-1$ otros valores posibles si se permiten números complejos, pero sólo el positivo es real, por lo que todos los anteriores calculan lo mismo).