Dos depósitos están conectados entre sí a través de dos tuberías. El depósito A contiene 200 litros de agua en la que se han disuelto 60 gramos de sal (mezcla) y el depósito B contiene 200 litros de agua pura. La mezcla y el agua pura circulan entre los dos tanques A y B de forma que la salida de mezcla del tanque A al tanque B es de 20 litros/min y la entrada de mezcla del tanque B al tanque A es de 5 litros/min. Se añade agua pura al tanque A a 15 litros/min a través de la tubería de entrada y se extrae mezcla del tanque B a través de la tubería de salida a 15 litros/min. ¿Cuánto tiempo se necesita para que ambos tanques contengan el mismo porcentaje de sal disuelta?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Modelizamos la situación mediante un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.
Sea $x=x(t)$ la cantidad de sal, en gramos, en el depósito A en el momento $t$ y $y=y(t)$ la cantidad de sal en el depósito B en el momento $t$ .
Se nos da la condiciones iniciales $x(0)=60$ y $y(0)=0$ .
Examinemos ahora el flujo de sal que entra y sale del tanque A. La salmuera fluye hacia B a razón de $20$ litros por minuto. En cualquier momento $t$ la cantidad de sal en un litro de agua es $x/200$ por lo que la sal fluye a la velocidad $(20/200)x$ . Además, el agua salada (después de un tiempo) fluye desde B a una velocidad $5$ litros por minuto. Por lo tanto, la sal fluye hacia A a razón de $(5/200)y$ . El anterior análisis de salida para la sal puede escribirse como la ecuación diferencial $$\frac{dx}{dt}=-\frac{20}{200}x +\frac{5}{200}y \qquad\qquad\text{(Equation $ 1 $)}$$
Ahora hacemos un análisis similar para el tanque B. La sal fluye desde A a razón de $(20/100)x$ . La sal fluye hacia A a la velocidad $(5/200)y$ y a la tubería de salida a razón de $(15/200)y$ para una tasa de salida combinada de $(20/200)y$ . Se obtiene la ecuación diferencial $$\frac{dy}{dt}=\frac{20}{200}x -\frac{20}{200}y \qquad\qquad\text{(Equation $ 2 $)}$$
Repasamos el proceso de solución. Visite $M$ sea la matriz $$\begin{pmatrix} -\frac{20}{200}& \frac{5}{200}\\ \frac{20}{200}& -\frac{20}{200} \end{pmatrix}$$ Primero encontramos el valores propios y asociados vectores propios de la matriz $M$ . El cálculo estándar muestra que los valores propios son $-1/20$ y $-3/20$ . El vector $(1,2)$ (escrito como un vector columna) es un vector propio para el valor propio $-1/20$ el vector $(1,-2)$ escrito de nuevo como un vector columna, es un vector propio para el valor propio $-3/20$ .
La teoría nos dice que la solución general $(x,y)$ viene dado por $$(x,y)=Ce^{-t/20}(1,2)+De^{-3t/20}(1,-2)$$ donde $C$ y $D$ son constantes. Menos compacto, $$x=Ce^{-t/20}+De^{-3t/20} \qquad \text{and}\qquad y=2Ce^{-t/20}-2De^{-3t/20}.$$
Del hecho de que $x(0)=60$ obtenemos $C+D=60$ . En $y(0)=0$ obtenemos $2C-2D=0$ . Así que $C=D=30$ y, por lo tanto $$x=30e^{-t/20}+30e^{-3t/20} \qquad \text{and}\qquad y=60e^{-t/20}-60e^{-3t/20}.$$
Ahora lo sabemos todo, así que podemos responder a cualquier pregunta. Nos preguntaron cuándo hay porcentajes iguales de sal en ambos tanques. Los tanques son de igual tamaño, por lo que la igualdad de porcentaje se produce cuando el importes de sal son iguales, es decir, en el momento $t$ cuando $x=y$ . Así $$30e^{-t/20}+30e^{-3t/20}=60e^{-t/20}-60e^{-3t/20}.$$
Esto se simplifica a $3e^{-3t/20}=e^{-t/20}$ y luego a $e^{t/10}=3$ . Toma el logaritmo natural de ambos lados: $t=10\ln 3\approx 10.98$ .
