necesito ayuda para resolver una integral múltiple con límites inferiores 0<=x,y,z y 1>=x+y+z

Question

C $$ \int \int \int_K (x^2 -z^2)\, dx dy dz $$ El cuerpo $K$ i $$ x\geq 0, ~y \geq 0 , ~z\geq 0 ~\text{and}~ x+y+z\leq 1 $$

He intentado resolverlo pero realmente no entiendo cómo manejar los límites superiores. Realmente necesito un poco de orientación.

Actualización: Dibujé un plano xyz en el que esbocé una forma triangular con vértices en x = (1,0,0), y=(0,1,0), z=(0,0,1). Entonces, tengo mis nuevos límites que supongo son 1 para la parte superior y 0 (dado) para x,y,z. Entonces estoy pensando que debería dividirlo en una integral doble de los términos x y z dxdz + una integral simple 1 dy. ¿Qué te parece?

Actualización: He probado a resolverlo sin cambiar las coordenadas y he obtenido -44/5, ¿qué os parece la respuesta? ¿Alguien puede comprobarlo? No estoy seguro de haber acertado.

Answer 1

La región cuenta con un $xz$ simetría de intercambio, es decir

$$(x,y,z) \in K \implies (z,y,x) \in K$$

En otras palabras

$$I = \iiint_K f(x,y,z)\:dV = \iiint_K f(z,y,x)\:dV$$

pero en este problema para $f(x,y,z) = x^2-z^2$ tenemos que

$$f(z,y,x) = -f(x,y,z)$$

lo que significa

$$I = -I \implies I = 0$$