Sobre el cambio de orden de la suma entre una suma finita y una suma infinita.

Question

Supongamos que para cada $j=1,...,t$ tenemos una serie convergente de números complejos $\displaystyle\sum_{m=0}^\infty a_j^m$ . Mi pregunta es:

¿Es cierto en general que $$\sum_{j=1}^t\left(\sum_{m=0}^\infty a_j^m\right)=\sum_{m=0}^{\infty}\left(\sum_{j=1}^ta_j^m\right)$$ En caso negativo, ¿en qué condiciones adicionales puede ser cierto?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Siempre es cierto porque los límites y las sumas finitas conmutan.

$$\sum_{j=1}^t\sum_{m=0}^\infty a_j^m= \sum_{j=1}^t\lim_{n\to\infty} \sum_{m=0}^n a_j^m = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^t\sum_{m=0}^{n}a_j^m = \lim_{n\to\infty} \sum_{m=0}^{n} \sum_{j=1}^ta_j^m = \sum_{m=0}^{\infty}\sum_{j=1}^ta_j^m$$

Answer 2

No es cierto en general por una razón técnica, el límite ampliado puede no existir. Por ejemplo, $\sum_n (2^n-2^n) = 0$ pero $\sum_n 2^n -\sum_n 2^n$ no tiene sentido.

Si $\sum_n a_n, \sum_n b_n$ son convergentes, entonces tenemos $\sum_n (a_n+b_n) = \sum_n a_n + \sum_n b_n$ porque el sumas finitas son intercambiables y entonces se pueden tomar límites.

Por lo tanto, es cierto para una colección finita de sumas.