Vecindad del origen en la topología débil

Question

Tengo dificultades con la siguiente pregunta. Sea $H$ sea un espacio de Hilbert real de dimensión infinita y $u\in H\setminus \{0\}$ . Sea $V$ sea una vecindad cualquiera de $0$ en la topología débil en $H$ . ¿Existe un vector $v\ne 0$ tal que $tv\in V$ para todos $t\in \mathbb{R}$ y $\langle u, v\rangle\ne 0$ ?

Me gustaría agradecer toda la ayuda y los comentarios.

Answer 1

Basándose en la solución de Daniel Fischer, eligiendo $V=\{x\in H: |\langle u, x\rangle|<1\}$ . Entonces $V$ es una vecindad de $0$ en la topología débil. Sea $v\ne 0$ tal que $tv\in V$ para todos $t\in \mathbb{R}$ . Entonces $\langle u, tv\rangle=t\langle u, v\rangle<1$ para todos $t\in \mathbb{R}$ . Por lo tanto $\langle u, v\rangle=0$ .