OK, probablemente sea una mala idea intercambiar en los comentarios. Permítanme ampliar lo que he dicho en los comentarios.
Si mi interpretación es correcta, el OP quiere saber, como primer paso para resolver todo el problema, la energía del estado fundamental del Hamiltoniano de muchos cuerpos $\mathcal{H}$ definido por $$ \mathcal{H} = \sum_{r,s}H_{rs}c^\dagger_r c_{s}, $$ para un conjunto determinado de parámetros $\{ H_{rs}\}$ . Aquí $c^\dagger_{r}$ y $c_{r}$ son operadores estándar de creación y aniquilación de fermiones. Los subíndices $r,s$ en todos los sitios de la red de 1 a $N$ . La hermiticidad exige que $$ H_{rs} = H^\ast_{sr}. $$ En otras palabras, el $N\times N$ matriz $H$ cuyo $(r,s)$ se define como $H_{rs}$ debe ser hermitiana. En alguna literatura, $H$ se conoce como "Hamiltoniano de primera cuantificación". Obsérvese que el $\mathcal{H}$ adopta una forma ligeramente más general que la descrita por OP.
El primer paso es diagonalizar $\mathcal{H}$ . Para ello, introducimos un nuevo conjunto de operadores de fermiones: $$ c_{r} = \sum_{m}V_{rm}f_{m};\quad{}c^\dagger_{r}=\sum_{m}V^\ast_{rm}f^\dagger_{m}. $$ Exigimos que los nuevos operadores de fermiones obedezcan al álgebra estándar de fermiones. Puede verse que esto equivale a exigir $$ \sum_{m}V_{rm}V^\ast_{sm}=\delta_{rs}, $$ o equivalentemente $VV^\dagger=1_N$ es decir $V$ es unitario $N\times N$ matriz.
Sustituyendo lo anterior, encontramos $\mathcal{H}$ escrito en términos de nuevos operadores de fermiones, $$ \mathcal{H} = \sum_{r,s,m,n}V^\ast_{rm}V_{sn}H_{rs}f^\dagger_m f_n = \sum_{m,n}(V^\dagger HV)_{mn}f^\dagger_m f_n. $$ Desde $H$ es hermitiano, siempre podemos encontrar un unitario $V$ para que $H$ está diagonalizado: $$ V^\dagger HV = \Lambda. $$ Aquí $\Lambda = \textrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2\cdots,\lambda_N)$ . $\lambda_i\in\mathbb{R}$ son valores propios de $H$ . Así, $$ \mathcal{H} = \sum_{m}\lambda_m f^\dagger_m f_m. $$ Esta es la forma diagonalizada deseada de $\mathcal{H}$ .
El segundo paso consiste en hallar la energía de estado básico de $\mathcal{H}$ . Vemos que todos los estados propios de $\mathcal{H}$ se etiquetan con los números de ocupación $f^\dagger_mf_m$ . Es fácil ver que el estado básico de $\mathcal{H}$ se construye llenando todos los modos con energía negativa. En otras palabras, en el estado básico, $$ f^\dagger_m f_m=\left\{\begin{array}{cc} 1 & \lambda_m<0\\ 0 & \lambda_m>0 \end{array} \right. . $$ Habrá degeneración si algunos $\lambda_m = 0$ . Entonces, la energía del estado básico es $$ E_{G}=\sum_{m,\lambda_m<0}\lambda_m. $$
