Funciones continuas uniformemente acotadas en un espacio métrico completo

Question

Con un espacio métrico completo $X$ y un conjunto $F$ de funciones continuas $f: X\to \mathbb{R}$ tal que $\forall a\in X\colon \quad F_a=\left \{ f(a)\mid f\in F \right \}$ está acotada, quiero demostrar que

Existe un subconjunto abierto no vacío $U\subseteq X$ y $M>0$ tal que para todo $x\in U$ y $f\in F$ , $\left | f(x) \right | \leq M$

Las funciones $f$ se denominan en este contexto "Uniformemente acotadas" en $U$ .

Por una pista que dio el profesor, el teorema de la categoría de Baire se puede utilizar para resolver esto, pero no he encontrado ni siquiera un enfoque que creo que llevará a resolver esto. ¿Me podéis dar alguna sugerencia?

Answer 1

Usted sabe que desde $X$ está completo, entonces si tiene $X=\cup_{i\in\mathbb{N}} X_i$ con cierre $X_i$ hay algo de $X_i$ con interior no vacío. Entonces set $X_i:=\{a\in X: \lvert f(a)\rvert\leq i \text{ for any }f\in F\}$ , por la hipótesis que hiciste a partir de cierto punto $X_i$ no está vacío. $X_i$ son obviamente conjuntos cerrados por continuidad de f y por estabilidad bajo intersecciones arbitrarias de conjuntos cerrados. Por lo tanto, uno de los $X_i$ tiene un interior no vacío.