¿Dónde está el $\log$ entrar $\log\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-x_it}=\sum_{i=1}^m\sum_{j\geq 0}(x_it)^j?$

Question

Estoy leyendo algunas notas aquí .

Al final de la página 12, aparece la igualdad $$\log\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-x_it}=\sum_{i=1}^m\sum_{j\geq 0}(x_it)^j.$$

Conozco la identidad formal $$\frac{1}{1-x_it}=\sum_{j\geq 0}(x_it)^j$$ pero ¿dónde $\log$ ¿Ir a la derecha? Pensé que un $\log$ o un producto es la suma de los $\log$ de los términos.

Answer 1

Supongo que esto parte de $$\log\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-x_it}=-\sum_{i=1}^m\log(1-x_it)$$ seguida de la expansión de Taylor $$\log(1-a)=-\sum_ {j=1}^\infty \frac {a^j}j\implies \log(1-x_it)=-\sum_ {j=1}^\infty \frac {(x_it)^j}j$$ Así que.., $$\log\prod_{i=1}^m\frac{1}{1-x_it}=-\sum_{i=1}^m\log(1-x_it)=\sum_{i=1}^m\sum_ {j=1}^\infty \frac {(x_it)^j}j=\sum_{i=1}^m\sum_ {j=1}^\infty \frac {(x_i)^j}j t^j$$