¿cómo demostrar que la función entera es un polinomio?

Question

Sea $\displaystyle f$ ser una func $$\lim_{|z|\rightarrow \infty} |f(z)| = \infty .$$ Entonces, demuestre que $f$ es polinómica.

Mis intentos: Estaba pensando en $f(z) = \sin z$ pero no es polinómico como estoy confundido.

Por favor, ayúdenme gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: deje que $g(z)=f(1/z)$ para $z \ne 0$ .

Si $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ para $z \in \mathbb C$ entonces

Entonces $g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{z^n}$ para $z \ne 0$ .

En $\lim_{|z|\rightarrow \infty} |f(z)| = \infty $ vemos que $g$ tiene un polo en $z =0$ .

¿Puede continuar?

Answer 2

Sugerencia: para algunos $r > 0$ , $0 < |z| < r\implies f(1/z)\ne 0$ (¿por qué?). Sea $h(z) = 1/f(1/z)$ para $0 < |z| < r$ , $h(0) = 0$ . Se puede demostrar fácilmente que $h$ es holomorfa en el disco $|z| < r$ y tiene un cero de orden $m > 1$ en $z = 0$ es decir, $1/h$ tiene un polo de orden $m$ en $z = 0$ . ¿Cómo es la serie Laurent de $1/h(z) = f(1/z)$ en $z = 0$ ?