¿Cuál de los siguientes conjuntos de funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}$ ?

Question

¿Cuál de los siguientes conjuntos de funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ es un subespacio vectorial de $\mathbb{R}$ ?

$S_1=\{f|\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)=0\}$ , $S_2=\{h|\displaystyle\lim_{x\to 3}h(x)=1\}$ , $S_3=\{g|\displaystyle\lim_{x\to 3}g(x)~ \text{exists}\}$

1. Sólo $S_1$ .
2. Sólo $S_2.$
3. $S_1$ y $S_3$ pero no $S_2$
4. Los tres son espacios vectoriales.

$S_1$ es sin duda un subespacio vectorial, pero $S_2$ no lo es ya que no contiene $0$ . Pero estoy confundido acerca de la $S_3$ . Como no se menciona ningún límite específico, esto significa que son posibles todo tipo de límites, incluidos los siguientes $0$ . Así que supongo $S_3$ también es un subespacio vectorial. Eso significa que la opción 3 es correcta. ¿Es correcta mi solución? Cualquier ayuda sería estupenda. Muchas gracias.

Answer 1

Su solución es correcta.

Para $S_3$ : Tome $g,h \in S_3$ .

Entonces $\lim_{x \to 3} g(x)$ y $\lim_{x \to 3} h(x)$ ambos existen.

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1. $\lim_{x \to 3} (g(x)+h(x))=\lim_{x \to 3} g(x)+\lim_{x \to 3} h(x)=\text{exists}.$ Esto implica que $g+h \in S_3$ .
2. deje $a \in \Bbb R$ ser arbitraria. Entonces $\lim_{x \to 3} ag(x)=a\lim_{x \to 3} g(x)=\text{exists}$ . Esto implica $ag \in S_3$ .

De 1 y 2, $S_3$ también es un espacio vectorial.

Nota : "El límite existe" significa que el límite es finito.