Raíces múltiples de polinomios con coeficientes $\pm 1$

Question

Pregunta P. ¿Puede un polinomio $P(x)=\sum_{n=0}^ma_nx^n$ con coeficientes $a_n\in\{-1,1\}$ (y $P(1)=0$ ) tienen una raíz múltiple en el intervalo $(\tfrac12,1)$ ?

También estoy interesado en una pregunta similar para funciones analíticas.

Pregunta A. Sea $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ una serie con coeficientes $a_n\in\{-1,1\}$ tal que $\sup_{m\in\mathbb N}|\sum_{n=0}^ma_i|<\infty$ . ¿Puede la función analítica $f$ tienen una raíz múltiple en el intervalo $(0,1)$ ?

Answer 1

Pregunta P. ¿Puede un polinomio $P(x)=\sum_{n=0}^ma_nx^n$ con coeficientes $a_n\in\{-1,1\}$ (y $P(1)=0$ ) tienen una raíz múltiple en el intervalo $(\tfrac12,1)$ ?

Sí. Los siguientes cuatro polinomios de Littlewood:

• $z^{27} + z^{26} + z^{25} + z^{24} + z^{23} - z^{22} - z^{21} + z^{20} + z^{19} + z^{18} - z^{17} - z^{16} - z^{15} - z^{14} - z^{13} - z^{12} - z^{11} - z^{10} + z^9 + z^8 - z^7 + z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 + z - 1 = (z^{18} + z^{16} + 2z^{15} + 2z^{13} + z^{12} + 2z^{11} + 3z^{10} + 3z^8 + 2z^7 + z^6 + 2z^5 + 2z^3 + 1)(z^2 + 1)(z - 1)(z^3 + z^2 - 1)^2$
• $z^{27} + z^{26} + z^{25} - z^{24} - z^{23} - z^{22} + z^{21} - z^{20} - z^{19} + z^{18} + z^{17} - z^{16} - z^{15} + z^{14} + z^{13} - z^{12} - z^{11} - z^{10} - z^9 - z^8 + z^7 + z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 + z - 1 = (z^{21} - z^{20} + 2z^{19} - 2z^{18} + z^{17} + z^{16} - 3z^{15} + 3z^{14} - 2z^{13} + 2z^{11} - 4z^{10} + 4z^9 - 2z^8 - z^7 + 3z^6 - 4z^5 + 2z^4 - z^3 - z^2 + z - 1)(z^3 + z^2 - 1)^2$
• $z^{27} + z^{26} + z^{25} + z^{24} + z^{23} - z^{22} - z^{21} + z^{20} - z^{19} - z^{18} - z^{17} + z^{16} - z^{15} + z^{14} + z^{13} - z^{12} - z^{11} - z^{10} - z^9 - z^8 + z^7 + z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 + z - 1 = (z^{18} + z^{16} + 2z^{15} + 2z^{13} + z^{12} + 2z^{11} + z^{10} + 3z^8 + z^6 + 2z^5 + 2z^3 + 1)(z^2 + 1)(z - 1)(z^3 + z^2 - 1)^2$
• $z^{27} + z^{26} + z^{25} - z^{24} - z^{23} - z^{22} + z^{21} + z^{20} + z^{19} + z^{18} - z^{17} + z^{16} - z^{15} - z^{14} - z^{13} + z^{12} - z^{11} - z^{10} - z^9 - z^8 + z^7 + z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 + z - 1 = (z^{18} + z^{16} + 2z^{13} - z^{12} + 2z^{11} + z^{10} + 3z^8 + z^6 + 2z^5 + 2z^3 + 1)(z^2 + 1)(z - 1)(z^3 + z^2 - 1)^2$

todos tienen factor repetido $z^3 + z^2 - 1$ con raíz $z \approx 0.75488$ .

Answer 2

No es una respuesta, sólo algún tipo de prueba para A, de ahí la wiki comunitaria. Parece que hay un algoritmo que produce una secuencia de polinomios $(P_n)$ como en P, con $P_0=1$ , $P_{n+1}=P_n\pm x^{n+1}$ , $n\geqslant0$ y con $P_n$ con un mínimo local en $m_n$ tal que la secuencia de $m_n$ converge a $\approx0.7257794$ mientras que $P_n(m_n)$ tiende a 0.

Haz esto: deja que $P_6=1-x-x^2-x^3+x^4+x^5+x^6$ tiene un bonito mínimo local en $m_6\approx0.719842$ . Ahora itera el siguiente procedimiento. Encontrar los mínimos de $P_n+x^{n+1}$ , $P_n-x^{n+1}$ en las proximidades de $m_n$ . Compara los valores absolutos de estos dos polinomios en estos mínimos. Elija para $P_{n+1}$ el de menor valor absoluto (y para $m_{n+1}$ donde se alcanza ese valor).

Experimentalmente, estos valores se vuelven bastante pequeños rápidamente. Por ejemplo, $P_{500}(m_{500})$ se trata de $1.644734\times 10^{-70}$ .

Por supuesto no hay control de la secuencia $P_n(1)$ que debe permanecer acotada. De hecho $P_3(1)=-2$ , $P_7(1)=2$ mientras que $P_n(1)$ es $-1$ , $0$ o $1$ para todos los demás $n$ hasta $500$ .