Sea G un grupo de orden 100 que tiene un subgrupo H de orden 25. Demostrar que todo elemento de G de orden 5 está en H.

Question

Sé que tengo que usar cosets, pero no entiendo muy bien los cosets. Estaba pensando en usar el hecho de que G tiene un único subgrupo de orden 25, pero no veo cómo eso podría funcionar con cosets.

¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo empezar?

Answer 1

Sea $H$ sea el subgrupo de $G$ de orden $25$ y het $g$ sea un elemento de orden $5$ en $G$ .

Consideremos los cosets: $$1H,gH,g^2H,g^3H,g^4H$$ Estos no pueden ser disjuntos, ya que eso significaría que $125$ elementos distintos de $G$ .

Así que $g^iH=g^jH$ para algunos $0\leq i <j<5$ . Entonces $g^{j-i}H=H$ ou $g^{k}\in H$ para algunos $1\leq k<5$ . Ahora demuestre que $g\in H$ encontrando $m$ para que $g=(g^k)^m$ .

Answer 2

Si $x$ tenía orden $5$ y no estaban en $H$ entonces el subgrupo generado por $x$ y $H$ tendría al menos $125$ elementos. Pero en $G$ sólo hay $100$ .

Answer 3

Si sabe que $G$ tiene un único subgrupo de orden $25,$ entonces tenga en cuenta que $gHg^{-1}$ es un subgrupo de $G$ de orden $25$ para todos $g\in G.$ Por lo tanto, $gHg^{-1}=H$ para todos $g\in G,$ lo que significa que $H$ es un subgrupo normal de $G.$ Ahora, supongamos que hay algún $g_0\in G$ de orden $5$ tal que $g_0\notin H.$ Obsérvese que entonces tenemos $g_0^n\in H$ sólo si $n$ es un múltiplo entero de $5.$ (Así, se puede demostrar que $H,g_0H,g_0^2H,g_0^3H,$ y $g_0^4H$ son cosets distintos de $H,$ por lo que subconjuntos disjuntos de $G.$ Pero entonces la unión de esos cosets es también un subconjunto de $G,$ y tiene cardinalidad $125,$ lo cual es imposible, ya que $|G|=100.$

Answer 4

Me gusta el enfoque sencillo y directo de los demás. Un enfoque más sofisticado sería aplicar la teoría de Sylow: $[G:N_G(H)]$ debe dividir 1, 2 ó 4 y $\equiv 1$ mod 5. Por lo tanto $G=N_G(H)$ es decir $ H$ es normal y el único Sylow $5$ -Subgrupo Sylow. Entonces todos los elementos de orden $5$ debe estar en $H$ .