Demuestra que $|\int^b_a{f(x)g(x)dx}| ≤$ ( $\int^b_a{f^2(x)dx})^{1/2}$ . $(\int^b_a{g^2(x)dx})^{1/2}$

Question

Sea $f,g : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ sean integrables de Riemann. Demuestre que $|\int^b_a{f(x)g(x)dx}| $ ( $\int^b_a{f^2(x)dx})^{1/2}$ . $(\int^b_a{g^2(x)dx})^{1/2}$

La prueba me recordó a la de Cauchy-Schwartz para los números reales. Investigué

$k(t) = \int^b_a{(tf(x)+g(x))^{1/2}}dx$

para ver que con este polinomio, el signo siempre es positivo y esperemos ver cómo puede salir la desigualdad. ¿Alguna idea sobre la prueba?

Answer 1

Es cierto que se trata de una desigualdad de Cauchy Schwarz: consideremos el producto interior $$\langle f,g\rangle =\int_a^b fg$$ y copia la prueba de Cauchy Schwarz en la que estás pensando. Alternativamente, y en la línea de las desigualdades de Hölder más generales en $L^p$ espacios, puedes hacer lo siguiente. Por cada $a,b>0$ es cierto que $$ab\leqslant \frac{a^2+b^2}2$$

Supongamos en primer lugar que $f,g$ son tales que $\int_a^b f^2=\int_a^b g^2=1$ . Entonces integrando la desigualdad $$|fg| \leqslant \frac{f^2+g^2}2$$ da $$\int_a^b |fg|\leqslant 1$$ Ahora puede deducir el caso general normalizando cualquier $f,g$ (siempre que sean distintos de cero), es decir, estableciendo $f' = (\int_a^b f^2)^{-1} f$ , $g'= (\int_a^b g^2)^{-1} g$ y utilizando lo anterior.

Answer 2

Utilizando Cauchy-Schwartz para sumas finitas, obtenemos

$$|\sum_{k=1}^{n}f(x_k)g(x_k)\Delta x_k| = |\sum_{k=1}^{n}f(x_k)(\Delta x_k)^{1/2}g(x_k)(\Delta x_k)^{1/2}|$$ $$ \le \left(\sum_{k=1}^{n}f(x_k)^2\Delta x_k \right)^{1/2}\cdot \left (\sum_{k=1}^{n}g(x_k)^2\Delta x_k \right )^{1/2}.$$

Ahora tome el límite como el tamaño de malla de la partición $\to 0$ para obtener el resultado deseado.