Para que $n$, $G$ es abelian?

Question

Mi pregunta es:

Para Que los números naturales $n$, un grupo finito $G$ orden $n$ es un grupo abelian?

Obviouslyو para $n≤4$ e al $n$ es un número primo, tenemos $G$ es abelian. Podemos considerar otras restricciones o condiciones para $n$ tener la declaración de arriba o el propio grupo debe tener cierta estructura así? Gracias.

Answer 1

Cada grupo de orden $n$ es abelian iff $n$ es un cubefree nilpotent número.

Decimos que $n$ es nilpotent número si cuando nos factor de $n = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ hemos $p_i^k \not \equiv 1 \bmod{p_j}$ todos los $1 \leq k \leq a_i$.

(adaptado de una respuesta por Pete Clark.)