Pequeña notación "oh" e integración

Question

Esta pregunta se me pasó por la cabeza mientras hacía un ejercicio.

Supongamos que tenemos una función $F(x) = \int_0^\infty f(x,t)dt$ y se quiere comprobar si es integrable en $+\infty$ . Ahora usted encuentra que $f(x,t) = o(g(t))$ con $\int_0^\infty g(t)dt < +\infty$ . ¿Se puede decir que $$\int_0^\infty f(x,t)dt = \int_0^\infty o(g(t))dt = o \left( \int_0^\infty g(t)dt \right) < +\infty?$$

Answer 1

Estás cometiendo un error que probablemente sea el más común entre las personas que aún se están acostumbrando a los pequeños $o$ (y es principalmente consecuencia de una explicación chapucera de la notación):

El pequeño $o$ no describe funciones describe establece

Con esto quiero decir que si tienes una función $g$ entonces $o(g)$ no es un función es un conjunto que contiene todas las funciones $f$ para lo cual, para cada $\epsilon > 0$ existe una constat $M$ que $|f(x)| < |g(x)|$ para todos $x>M$ .

Ahora, si tienes dos funciones, $f$ y $g$ no se puede decir que $f=o(g)$ porque $o(g)$ no es una función (y por tanto no puede ser igual a $f$ ). Lo que usted puede decir es que $f\in o(g)$ con lo que quiere decir que $f$ baja a $0$ más rápido que $g$ .

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Dicho esto, no sé muy bien lo que me pregunta. ¿Quiere demostrar que $F(x)$ se define para cada $x$ (lo que no es cierto para cualquier función $f$ ), o quieres demostrar que la integral $$\int_0^\infty F(x)dx$$ ¿existe?