Sea $X$ represente el número de correos electrónicos que recibe en una hora de un día laborable y deje que $Y$ representan el número de correos electrónicos que recibes en una hora durante un fin de semana. Deje que $Z$ sea la variable aleatoria que representa cuántos correos electrónicos ha recibido en una hora sabiendo que el día seleccionado puede ser cualquier día de la semana.
$$X\sim\mathrm{Po}(10)\implies\operatorname{P}(X=x)=\frac{10^x}{e^{10}x!}\tag{1}$$ $$Y\sim\mathrm{Po}(2)\implies\operatorname{P}(Y=y)=\frac{2^y}{e^{2}y!}\tag{2}$$
El teorema de Bayes nos dice
$$\operatorname{P}(B \,|\, A) = \frac{ \operatorname{P}(B) \, \operatorname{P}(A \,|\, B) }{\operatorname{P}(B) \, \operatorname{P}(A \,|\, B) + \operatorname{P}\left(B'\right) \, \operatorname{P}\left(A \,\middle|\, B'\right)}$$
En $B$ ser el acontecimiento $D$ y $A$ ser el acontecimiento $Z=0$ tenemos
$$\operatorname{P}(D \,|\, Z=0) = \frac{ \operatorname{P}(D) \, \operatorname{P}(Z=0 \,|\, D) }{\operatorname{P}(D) \, \operatorname{P}(Z=0 \,|\, D) + \operatorname{P}\left(D'\right) \, \operatorname{P}\left(Z=0 \,\middle|\, D'\right)}$$
Dado si $D$ ocurre, $Z=0$ puede escribirse de forma más precisa como $X=0$ ; si $D'$ entonces $Z=0$ puede escribirse de forma más precisa como $Y=0$ dándole
$$\operatorname{P}(D \,|\, Z=0) = \frac{ \operatorname{P}(D) \, \operatorname{P}(X=0 \,|\, D) }{\operatorname{P}(D) \, \operatorname{P}(X=0 \,|\, D) + \operatorname{P}\left(D'\right) \, \operatorname{P}\left(Y=0 \,\middle|\, D'\right)}$$
Por la definición de nuestras variables, podemos reducirlo a
$$\operatorname{P}(D \,|\, Z=0) = \frac{ \operatorname{P}(D) \, \operatorname{P}(X=0) }{\operatorname{P}(D) \, \operatorname{P}(X=0) + \operatorname{P}\left(D'\right) \, \operatorname{P}(Y=0)}$$
porque si estamos analizando $X$ sabemos que estamos viendo un día de la semana, y si estamos analizando $Y$ sabemos que nos espera un fin de semana.
Utilice $(1)$ y $(2)$ en colaboración con $\operatorname{P}(D)=5/7$ y $\operatorname{P}\left(D'\right)=2/7$ para llegar a su respuesta.
