¿Existe alguna desigualdad más general que la de Hölder?

Question

Es bien sabido que para dos funciones dadas $f,g:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d$ tal que $fg \in L^1(\mathbb{R}^d)$ y $f\in L^p(\mathbb{R}^d)$ y $g\in L^q(\mathbb{R}^d)$ con $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ , $p,q\geq 1$ entonces $$\left|\int_{\mathbb{R}^d} f(x)g(x)dx\right|\leq \int_{\mathbb{R}^d} |f(x)g(x)|dx \leq \left(\int_{\mathbb{R}^d} |f(x)|^p\right)^{1/p} \left(\int_{\mathbb{R}^d}|g(x)|^q\right)^{1/q},$$ esta última conocida como desigualdad de Hölder. Esta igualdad también se cumple cuando $"p=\infty"$ tomando supremum.

$\bullet$ Mi pregunta es: ¿existen otro tipo de desigualdades que permitan "dividir" $f$ y $g$ ? Cualquier desigualdad, más general o no, que permita dividir funciones $f$ y $g$ . ¿Alguna idea? ¿Cómo o dónde podría encontrar esta información? Preferiblemente, una de las funciones debería ser lo más general posible, por ejemplo, no continua.

¡Muchas gracias! :)

Answer 1

Puedes comprobar la siguiente desigualdad. La conocida desigualdad de Young afirma que para cada $a,b\in\mathbb{R}$ $$ |ab|\le \frac{a^2}{2} +\frac{b^2}{2}$$ tomando $a= \sqrt{2\varepsilon}a'$ y $\frac{b'}{\sqrt{2\varepsilon}}$ se obtiene, $$ |a'b'|\le \varepsilon a'^2+\frac{b'^2}{4\varepsilon}$$ De donde esto nos lleva a, $$ \int_{\mathbb{R}^d} f(x)g(x) \, dx \le \Big(\varepsilon\int_{\mathbb{R}^d} f(x)^2 \, dx\Big) +\frac{1}{4\varepsilon}\Big(\int_{\mathbb{R}^d} g(x)^2 \, dx \Big) $$ es decir $$\|fg\|_1\le \varepsilon\|f\|^2_2+\frac{1}{4\varepsilon}\|g\|^2_2\tag{1}$$ que se cumple para cada $\varepsilon>$ . La desigualdad anterior es más general que la conocida desigualdad de Cauchy-schwartz, ya que se puede recuperar tomando $$ \varepsilon = \frac{\|g\|}{2\|f\|}~\text{when } ~~\|f\|\neq0.$$

Para el caso general, sabiendo que, $$ |ab|\le \frac{a^p}{p} +\frac{b^q}{q}~~~\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$ tomando $ a= \sqrt[p]{p\varepsilon} a'$ y $ b= \frac{1}{\sqrt[p]{p\varepsilon} }b'$ tenemos $$ |a'b'|\le \varepsilon a'^p+\frac{b'^q}{q(\varepsilon p)^{\frac{1}{p-1}}}$$ por lo tanto, $$\|fg\|_1\le \varepsilon\|f\|^p_p +\frac{1}{q(\varepsilon p)^{\frac{1}{p-1}}}\|g\|^q_q\tag{2}$$ Esta última desigualdad no demuestra necesariamente que Holder sea especial. Mientras que, resolviendo para $\varepsilon$ $$ \varepsilon\|f\|^p_p =\frac{1}{q(\varepsilon p)^{\frac{1}{p-1}}}\|g\|^q_q$$

Entonces, haciendo un uso cuidadoso de la relación $q= \frac{p}{p-1}$ obtenemos $$ \varepsilon =\frac{1}{q^{\frac{1}{q}}p^{\frac{1}{p}}}\frac{\|g\|_q}{\|f\|^{p-1}_p}. $$ con este valor concreto de $\varepsilon $ en (2) recuperamos la siguiente desigualdad.

$$\|fg\|_1\le+\frac{2}{q^{\frac{1}{q}}p^{\frac{1}{p}}} \|f\|_p \|g\|_q\tag{3}$$

Pero (3) parece una desigualdad de Holder y (2) divide " $fg$ " por integración y dar (3) como caso especial. esto podría ayudar.

Answer 2

Un caso especial de la desigualdad de Hölder es Desigualdad de Schwarz : $$\left(\int_{\mathbb R^d}f(x)g(x)\,dx\right)^2 \le \int_{\mathbb R^d}f(x)^2\,dx\cdot \int_{\mathbb R^d}g(x)^2\,dx.$$ Además, hay Desigualdades de Minkowski para sumas : $$\left(\int_{\mathbb R^d}\left(f(x)+g(x)\right)^\frac1p\,dx\right)^p \le \left(\int_{\mathbb R^d}\left|f(x)\right|^\frac1p\,dx\right)^p+\left(\int_{\mathbb R^d}\left|g(x)\right|^\frac1p\,dx\right)^p.$$

Como opción especial para los productos, se puede considerar la transformada de Laplace para la convolución $$\mathcal L\left\{\int_0^tf(t)g(x-t)dt\right\} = \mathcal L\left\{f(t)dt\right\}\cdot\mathcal L\left\{g(t)dt\right\}$$