Análisis complejo de la función logarítmica

Question

Sea la raíz cuadrada definida por la rama principal de la función logarítmica. Comparemos la función $\sqrt{z^2-1}$ y $\sqrt{z-1} \sqrt{z+1}$ . ¿Dónde están las discontinuidades de cada función?

Mi intento: Deja $\sqrt{z^2-1} = e^{\frac{1}{2} (\ln |z^2-1| + i\arg(z^2-1))}$

Esta función es discontinua cuando $z^2-1$ tomaría valores en la parte negativa de la recta real, ya que la rama principal es $(-\pi,\pi]$ .

Considere la posibilidad de $k \in \mathbb{R}$ , $k>0$ .

Si $z^2-1=-k \implies z^2 = -k+1 \implies z = \sqrt{-k+1}$ o $z=-\sqrt{-k+1}$ .

Por lo tanto, para $z\in (-1,1)$ y $(-i\infty,i0)\cup(i0,i\infty)$ la función dada sería discontinua.

Del mismo modo, si $z+1=-k \implies z=-1-k$ . Esto implica para $z \in (-\infty,-1)$ , $\arg(z-1)$ será discontinua. Si $z-1=-k \implies z=-k+1$ . Esto implica para $z\in (-\infty,1), \arg(z+1)$ será discontinua.

Por lo tanto, para $z\in (-\infty,1)$ , $\sqrt{z-1} \sqrt{z+1}$ será discontinua.

¿Es correcta esta prueba? En caso afirmativo, ¿por qué esta descomposición da un resultado diferente?

Answer 1

Corte de rama para $\boldsymbol{\sqrt{z^2-1}}$

Defina $$ g(z)=\int_{\sqrt2}^z\left(\frac1{w-1}+\frac1{w+1}\right)\mathrm{d}w $$ donde el camino desde $\sqrt2$ a $z$ no cruza $[-1,1]$ . Si la trayectoria rodea la rama cortada en $[-1,1]$ , $g(z)=\log\left(z^2-1\right)$ aumenta en un múltiplo entero de $4\pi i$ Eso es, $2\pi i$ veces la suma de los residuos de las singularidades en $z=-1$ y $z=1$ . Desde $e^{2\pi i}=1$ , $$ \sqrt{z^2-1}=\exp\left(\tfrac12g(z)\right) $$ está bien definida con una rama cortada en $[-1,1]$ .

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Corte de rama para $\boldsymbol{\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}}$

Si tomamos la rama cortada de $\sqrt{z-1}$ ser $(-\infty,1]$ y la rama cortada de $\sqrt{z+1}$ ser $(-\infty,-1]$ y, por tanto, el corte de la rama para el producto, $\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}$ sería $(-\infty,1]$ .

Sin embargo, cada una de estas funciones salta por un múltiplo de $-1$ a través de la porción de la rama corta de $(-\infty,-1)$ por lo que su producto es continuo en esa parte de la rama cortada. Así como $\frac{z^2-1}{z-1}$ tiene una singularidad removible en $z=1$ para $\sqrt{z-1}\sqrt{z+1}$ la parte de la rama cortada en $(-\infty,-1)$ también podría considerarse extraíble, dejándonos con el mismo corte de rama que teníamos para $\sqrt{z^2-1}$ Eso es, $[-1,1]$ .

Answer 2

Tenga siempre en cuenta que, desde el punto de vista matemático, una función es no sólo una fórmula, sino que también requiere especificar un dominio en el que tenga sentido. Así, en particular, las dos fórmulas que mencionas no sólo son continuas, sino que tienen sentido en dominios diferentes, y la igualdad entre ellas sólo puede afirmarse en la intersección de ambos. (es decir: fuera del eje real negativo)

La segunda expresión simplemente no está bien definida en el eje real negativo.